В треугольнике ABC сторона AC равна 7, угол BCA равен 60°. Точка E, лежащая на стороне BC, удалена от вершины B на 6, F – точка пересечения AE с медианой BD. Найдите сторону AB,…

Решение задаётся с использованием координат.

Дано: AC = 7, ∠BCA = 60°, E на BC с BE = 6, F — пересечение AE с медианой BD, и BF:FD = 3:2. D — середина AC, значит D = (3.5, 0). Пусть

• A = (0, 0)
• C = (7, 0)
• B = (x, y)

1. Связь из условия ∠BCA = 60°. Векторы: CB = B − C = (x − 7, y), CA = A − C = (−7, 0). cos ∠BCA = [CB · CA] / (|CB| |CA|) = (−7(x − 7)) / (7|CB|) = (7 − x)/|CB|. Задаётся cos ∠BCA = 1/2, значит |CB| = 2(7 − x). Тогда y^2 = |CB|^2 − (x − 7)^2 = 4(7 − x)^2 − (7 − x)^2 = 3(7 − x)^2, следовательно y = √3 (7 − x) (берём положительное значение, так как B над осью).

2. Точка F на BD с BF:FD = 3:2. D = (3.5, 0). Поскольку F делит BD в отношении 3:2, имеем F = B + (3/5)(D − B) = (2/5)B + (3/5)D. Тогда координаты F_x = (2/5)x + (3/5)·3.5 = (2x/5) + 2.1 = (4x + 21)/10 F_y = (2/5)y = 2y/5.

3. Точка E на BC с BE = 6. Длина BC равна d = |CB| = 2(7 − x). Вектор C − B = (7 − x, −y). E = B + (6/d)(C − B) = B + (6 / (2(7 − x))) (7 − x, −y) = B + (3/(7 − x)) (7 − x, −y). Упрощая, получаем E = (x, y) + (3, −3y/(7 − x))? Но удобнее подставлять конкретно: Из того же выражения получается E = (x + 3, y − 3√3), потому что y = √3(7 − x) и 3y/(7 − x) = 3√3.

Итого E = (x + 3, y − 3√3).

4. F лежит на AE (AE — это прямая от A(0,0) до E). Это значит, что отношение координат F и E одинаково по масштабу: F_y / F_x = E_y / E_x.

Используем F и E, подставив y = √3(7 − x):

• F_y / F_x = (2y/5) / ((4x + 21)/10) = (4y)/(4x + 21) = (4√3(7 − x))/(4x + 21).
• E_y / E_x = (y − 3√3) / (x + 3) = (√3(7 − x) − 3√3) / (x + 3) = √3(4 − x)/(x + 3).

Приравниваем и сокращаем √3: (4(7 − x))/(4x + 21) = (4 − x)/(x + 3).

Раскрывая скобки: 4(7 − x)(x + 3) = (4 − x)(4x + 21).

После упрощения получаем 21x = 0, поэтому x = 0. Тогда y = √3(7 − x) = 7√3, и координаты B = (0, 7√3).

5. Найдём AB: AB = √(x^2 + y^2) = √(0^2 + (7√3)^2) = √(147) = 7√3.

Ответ: AB = 7√3.