В треугольнике ABC сторона AC равна 7, угол BCA равен 60°. Точка E, лежащая на стороне BC, удалена от вершины B на 6, F – точка пересечения AE с медианой BD. Найдите сторону AB, если BF : FD = 3 : 2.
Решение задаётся с использованием координат.
Дано: AC = 7, ∠BCA = 60°, E на BC с BE = 6, F — пересечение AE с медианой BD, и BF:FD = 3:2. D — середина AC, значит D = (3.5, 0). Пусть
- A = (0, 0)
- C = (7, 0)
- B = (x, y)
1) Связь из условия ∠BCA = 60°.
Векторы: CB = B − C = (x − 7, y), CA = A − C = (−7, 0).
cos ∠BCA = [CB · CA] / (|CB| |CA|) = (−7(x − 7)) / (7|CB|) = (7 − x)/|CB|.
Задаётся cos ∠BCA = 1/2, значит |CB| = 2(7 − x). Тогда
y^2 = |CB|^2 − (x − 7)^2 = 4(7 − x)^2 − (7 − x)^2 = 3(7 − x)^2,
следовательно y = √3 (7 − x) (берём положительное значение, так как B над осью).
2) Точка F на BD с BF:FD = 3:2.
D = (3.5, 0). Поскольку F делит BD в отношении 3:2, имеем
F = B + (3/5)(D − B) = (2/5)B + (3/5)D.
Тогда координаты
F_x = (2/5)x + (3/5)·3.5 = (2x/5) + 2.1 = (4x + 21)/10
F_y = (2/5)y = 2y/5.
3) Точка E на BC с BE = 6.
Длина BC равна d = |CB| = 2(7 − x). Вектор C − B = (7 − x, −y).
E = B + (6/d)(C − B) = B + (6 / (2(7 − x))) (7 − x, −y) = B + (3/(7 − x)) (7 − x, −y).
Упрощая, получаем
E = (x, y) + (3, −3y/(7 − x))? Но удобнее подставлять конкретно:
Из того же выражения получается E = (x + 3, y − 3√3), потому что y = √3(7 − x) и 3y/(7 − x) = 3√3.
Итого
E = (x + 3, y − 3√3).
4) F лежит на AE (AE — это прямая от A(0,0) до E). Это значит, что отношение координат F и E одинаково по масштабу:
F_y / F_x = E_y / E_x.
Используем F и E, подставив y = √3(7 − x):
- F_y / F_x = (2y/5) / ((4x + 21)/10) = (4y)/(4x + 21) = (4√3(7 − x))/(4x + 21).
- E_y / E_x = (y − 3√3) / (x + 3) = (√3(7 − x) − 3√3) / (x + 3) = √3(4 − x)/(x + 3).
Приравниваем и сокращаем √3:
(4(7 − x))/(4x + 21) = (4 − x)/(x + 3).
Раскрывая скобки:
4(7 − x)(x + 3) = (4 − x)(4x + 21).
После упрощения получаем 21x = 0, поэтому x = 0.
Тогда y = √3(7 − x) = 7√3, и координаты B = (0, 7√3).
5) Найдём AB:
AB = √(x^2 + y^2) = √(0^2 + (7√3)^2) = √(147) = 7√3.
Ответ: AB = 7√3.
