В треугольнике АВС на сторонах АС и ВС отмечены точки К и М соответственно. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке Р. Укажите верное значение отношения АР:РМ, если АК:КС=CM:MB=1:2

Ответ: AR:RM = 3:4

Краткое решение через координаты:

• Пусть A = (0,0), C = (3,0). Тогда K на AC с AK:KC = 1:2 имеет координату K = (1,0).
• Пусть B = (x, y) (y ≠ 0). Точка M на BC с CM:MB = 1:2 делит BC в отношении 1:2, значит M = C + (1/3)(B − C) = (2 + x/3, y/3).
• Прямые: BK проходит через B и K, AM — через A и M. Прогонимся параметрами: BK: (x, y) + t(1 − x, −y) = (x + t(1 − x), y(1 − t)) AM: s(2 + x/3, y/3) = (s(2 + x/3), s(y/3))
• Найдём пересечение: y-координаты дают y(1 − t) = s(y/3) ⇒ t = 1 − s/3.
• Подстановка в x-координаты даёт 1 − (s/3)(1 − x) = s(2 + x/3). Упрощая, получаем s = 3/7.
• Значит R лежит на AM на доле s = AR/AM = 3/7. Тогда AR:RM = (3/7) : (4/7) = 3:4.

Следовательно, AR:RM = 3:4.