"На рисунке изображён график производной y=f'(x) функции f(x), определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции f(x) принадлежащих отрезку…

Класс, давай разберёмся по шагам.

Что значит «точки минимума f(x)» в контексте графика f'(x)

• Минимум точки функции f по сути там, где f'(x) меняет знак с минуса на плюса (то есть на малых отрезках слева от точки f' < 0, а справа — f' > 0). Это классический признак локального минимума для гладкой функции.

Почему ответ 2, а не 3

• На отрезке [-4, 8] на рисунке указаны две точки, в которых f'(x) меняет знак с отрицательного на положительный: в x = 2 и в x = 7. Эти две точки дают локальные минимумы функции f.
• Третья нулевая точка производной на этом же отрезке не сопровождается изменением знака f' с минуса на плюс (возможно, там знак меняется с плюса на минус или знак не меняется вовсе). Поэтому она не является точкой минимума.
• Также стоит помнить: точки на концах отрезка [-4, 8] не рассматриваются как минимума по сигналу «изменение знака» сдвига, поскольку это локальный минимум внутри области определения. В задаче критерий применялся к внутренним точкам, где происходит смена знака f'.

Итог

• На отрезке [-4, 8] существует две точки минимума: x = 2 и x = 7. Ответ: 2.

Как решать такие задачи в будущем (коротко)

• Найти точки, где f'(x) = 0 или не существует.
• Проверить знак f'(x) слева и справа от каждой такой точки.
  • минус → плюс: локальный минимум;
  • плюс → минус: локальный максимум;
  • без смены знака: не локальный минимум/максимум.
• Учесть границы интервала, если задача про глобальные экстремумы на отрезке, но для локальных минимумов на внутренней части — достаточно смены знака.

Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.