Задача: для какого наименьшего целого неотрицательного числа A выражение
(2x + 3y > 30) ∨ (x + y ≤ A)
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Краткое решение:
Чтобы дизъюнкция была всегда истинной, достаточно убедиться, что нет пары x≥0, y≥0 таких, что обе части ложны, то есть 2x+3y ≤ 30 и x+y > A. Значит, нужно выбрать A так, чтобы для всех неотрицательных x,y с 2x+3y ≤ 30 выполнялось x+y ≤ A. Найдем максимальное possible значение x+y при условии 2x+3y ≤ 30.
Шаг 1. Границы для x+y
Из неотрицательности следует, 3y ≥ 2y, поэтому 2x+3y ≥ 2x+2y = 2(x+y). Если 2x+3y ≤ 30, то
2(x+y) ≤ 30 ⇒ x+y ≤ 15.
Значит, для любых допустимых пар (x,y) выполняется x+y ≤ 15. Максимум x+y достигается, например, в точке (x,y) = (15,0), где x+y = 15 и 2x+3y = 30.
Следовательно, максимальное значение x+y при условии 2x+3y ≤ 30 равно 15.
Шаг 2. Выбор A
Чтобы для всех пар с 2x+3y ≤ 30 выполнялось x+y ≤ A, достаточно взять A = 15. При этом ни одна пара не нарушает условие, так как максимум x+y равен 15.
Проверка:
- Если 2x+3y > 30, першая часть истинна — дизъюнкция верна.
- Если 2x+3y ≤ 30, то по шагу 1 x+y ≤ 15, значит x+y ≤ A (при A=15) — дизъюнкция верна.
Минимальное такое A равно 15.
Ответ: A = 15.
