Цель: понять, являются ли векторы a, b, c копланарными (лежат в одной плоскости через начало координат).
Дано:
- a = i + j + 4k = (1, 1, 4)
- b = 3i + 0j + 4k = (3, 0, 4)
- c = i − 2j = (1, −2, 0)
Способ проверки:
- Три вектора из начала координат копланарны тогда, когда их тройной скалярный произведение равно нулю: a · (b × c) = 0.
- Это эквивалентно тому, что детерминант матрицы, составленной из векторов a, b, c как строк, равен нулю.
Вычисления:
1) Найдём векторное произведение b × c.
b × c = (b_y c_z − b_z c_y, b_z c_x − b_x c_z, b_x c_y − b_y c_x)
= (0·0 − 4·(−2), 4·1 − 3·0, 3·(−2) − 0·1)
= (8, 4, −6)
2) Найдём тройной скалярный продукт a · (b × c):
a · (b × c) = (1, 1, 4) · (8, 4, −6)
= 1·8 + 1·4 + 4·(−6)
= 8 + 4 − 24
= −12
Результат: a · (b × c) = −12 ≠ 0.
Вывод:
- Так как тройной скалярный произведение не равно нулю, векторы a, b, c линейно независимы и не лежат в одной плоскости через начало координат.
- Следовательно, они не копланарны.
Дополнительная проверка (опционально): можно попытаться выразить c как линейную комбинацию a и b, c = x a + y b. Решив систему по координатам, получим, что не существует таких x, y, что третья компонента совпадает, что тоже подтверждает, что c не принадлежит плоскости, порождённой a и b.
Итог: векторы a, b, c не копланарны.
