доказать что векторы комланарны а = i+ j+ 4k b= 3i+ 4k c= i -2j

Цель: понять, являются ли векторы a, b, c копланарными (лежат в одной плоскости через начало координат).

Дано:

• a = i + j + 4k = (1, 1, 4)
• b = 3i + 0j + 4k = (3, 0, 4)
• c = i − 2j = (1, −2, 0)

Способ проверки:

• Три вектора из начала координат копланарны тогда, когда их тройной скалярный произведение равно нулю: a · (b × c) = 0.
• Это эквивалентно тому, что детерминант матрицы, составленной из векторов a, b, c как строк, равен нулю.

Вычисления:

1. Найдём векторное произведение b × c. b × c = (b_y c_z − b_z c_y, b_z c_x − b_x c_z, b_x c_y − b_y c_x) = (0·0 − 4·(−2), 4·1 − 3·0, 3·(−2) − 0·1) = (8, 4, −6)

2. Найдём тройной скалярный продукт a · (b × c): a · (b × c) = (1, 1, 4) · (8, 4, −6) = 1·8 + 1·4 + 4·(−6) = 8 + 4 − 24 = −12

Результат: a · (b × c) = −12 ≠ 0.

Вывод:

• Так как тройной скалярный произведение не равно нулю, векторы a, b, c линейно независимы и не лежат в одной плоскости через начало координат.
• Следовательно, они не копланарны.

Дополнительная проверка (опционально): можно попытаться выразить c как линейную комбинацию a и b, c = x a + y b. Решив систему по координатам, получим, что не существует таких x, y, что третья компонента совпадает, что тоже подтверждает, что c не принадлежит плоскости, порождённой a и b.

Итог: векторы a, b, c не копланарны.