показать что векторы комланарны a=i+2j+2k b=i+2j+7k c=i+j-k

Дано векторы: a = i + 2j + 2k, b = i + 2j + 7k, c = i + j − k.

Цель: проверить, коллинеарны ли три вектора (лежат ли на одной прямой).

1. Проверка пары a и b на коллинеарность

• Пусть a = t b. Тогда по координатам:
  • по i: 1 = t·1 → t = 1
  • по j: 2 = t·2 → 2 = 2 (совпадает)
  • по k: 2 = t·7 → 2 = 7 (ложь)
• Вывод: a и b не параллельны, следовательно они не коллинеарны.

2. Проверка пары a и c

• Пусть a = s c. Тогда:
  • по i: 1 = s·1 → s = 1
  • по j: 2 = s·1 → 2 = 1 (ложь)
• Вывод: a и c не параллельны.

3. Проверка пары b и c

• Пусть b = p c. Тогда:
  • по i: 1 = p·1 → p = 1
  • по j: 2 = p·1 → 2 = 1 (ложь)
• Вывод: b и c не параллельны.

Итог:

• Ни одна пара векторов не коллинеарна. Поэтому векторы a, b и c не коллинеарны (они не лежат на одной прямой).

Дополнительный комментарий (для понимания полноты картины):

• Чтобы проверить, лежат ли векторы в одной плоскости (копланарны), можно вычислить скалярное тройное произведение a · (b × c). Если оно равно нулю, они копланарны; если не равно нулю, — не копланарны.
• В данном случае b × c = (-9, 8, -1), и a · (b × c) = 1·(-9) + 2·8 + 2·(-1) = -9 + 16 - 2 = 5 ≠ 0. Значит векторы не копланарны и линейно независимы.