Острые углы прямоугольного треугольника равны 53 и 37 . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Задача: в прямоугольном треугольнике углы при вершинах A и B равны 53° и 37°, прямой угол в C. Нужно найти угол между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C (H — основание высоты на гипотенузу AB, M — середина AB). Пошаговое решение 1) Обозначения и координаты - Пусть C — вершина прямого угла, A и B — остальные вершины. - Пусть A(a, 0), B(0, b), C(0, 0). Тогда AB — гипотенуза, CM — медиана к AB, CH — высота к AB. 2) Направления CH и CM - Вектор CM идёт от C к середине AB: M = (a/2, b/2). Значит CM ∥ (a, b). - AB со стороны A в сторону B имеет вектор (-a, b). Высота CH перпендикулярна AB, значит CH ∥ перпендикулярному к (-a, b) вектору, например CH ∥ (b, a) (поскольку (-a, b)·(b, a) = -ab + ab = 0). 3) Угол между высотой и медианой - Направления: CM ∥ (a, b) и CH ∥ (b, a). - Косинус угла θ между ними: cos θ = [(a, b)·(b, a)] / (√(a^2 + b^2) · √(a^2 + b^2)) = (ab + ab) / (a^2 + b^2) = 2ab/(a^2 + b^2). 4) Связь с углом A - В прямоугольном треугольнике с рациональными сторонами отношение b/a = tan∠A. Здесь ∠A = 53°, значит r = b/a = tan 53°. - Подставим в формулу: cos θ = 2r/(1 + r^2) = 2 tan A / (1 + tan^2 A) = sin(2A). Поэтому θ = arccos(sin(2A)) = |90° − 2A| (так как cos θ = sin(2A)). 5) Численное значение - A = 53°, поэтому 2A = 106°, и θ = |90° − 106°| = 16°. - Альтернативно, через B: B = 37°, θ = |90° − 2B| = |90° − 74°| = 16°. Ответ: 16°.