Задача. В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей? Задание: 1) Сконструируйте систему вопросов или заданий к данной задаче (2-3), обеспечивающих определение математической основы ее решения, поиск решения, уточнение условия задачи для бизнесмена, определяющего экономическую эффективность предложенного решения. 2) Преобразуйте данную задачу в практико-прикладную, обеспечивающую достижение результатов, определенных ФГОС СОО. Отчет: Оформите решение кейса на бумаге (рукописный или электронный вариант), сфотографируйте или сделайте скан (формат файла: jpg или pdf), отправьте работу по одной из ссылок: - через Яндекс.Формы: ссылка для отправки работы или - через Google Форму: ссылка для отправки работы, здесь требуется вход в гугл аккаунт. Выполнение кейса максимально оценивается в 10 баллов. Шкала оценки: 1) Вопросы сформулированы в соответствии с планируемыми результатами обучения, определенными ФГОС СОО, – 1 балл; вопросы носят метапредметный характер – 2 балла; вопросы ориентированы на развитие критического мышления и/или функциональной грамотности – 3 балла; сконструирована система вопросов, включающая вопросы метапредметного характера и/или вопросы, ориентированные на развитие критического мышления, функциональной грамотности, – 5 баллов. 2) Осуществлена трансформация задачи в задачу, указанного вида, – 1 балл; сконструировано 2-3 задачи путем трансформации из предложенной задачи с учетом профориентационной или практико-прикладной направленности – 3 балла; сконструировано 2-3 задачи путем трансформации из предложенной задачи с учетом профориентационной или практико-прикладной направленности, при этом хотя бы одна из них открытая или неопределенная – 5 баллов. Задание 1: Надо такой вопрос или задание придумать, чтобы ученики переформулировали задачу в математическую Следующий вопрос надо сформулировать уже по переформулированной (*) вами задаче (например, что надо знать, чтобы ...?). Третий вопрос или задание можно сделать, добавив в условие исходной задачи такие данные, чтобы можно было оценить затраты на перевозку чего-то по этому маршруту или определить трудо-часы водителя и т.п. Задание 2: В сюжет математической (*) задачи добавьте аспект инженерного, сельскохозяйственного, архитектурного, биологического, химического или медицинского содержания (достаточно одного любого аспекта)

Ниже приведен готовый комплект заданий и подробный план решения для учебной задачки про мост через реку. Он подходит для учеников средней школы и может быть адаптирован под разные предметы и классы. Также включены варианты трансформации задачи в практико-прикладной формат и пример оформления отчета (кейса) в духе ФГОС СОК/СОО. 1) Система вопросов (2–3 задания), которые помогают перейти от постановки к математической основе и к экономической оценке Задание 1. Математическая постановка и поиск решения - Вводная формулировка: Пусть две города A и B лежат на противоположных берегах реки, ширина которой равна d. Проходит прямая дорога по берегам к мосту: первая часть пути идет по берегу до конца моста, затем — по мосту через реку (длина моста равна d), затем — по берегу до города B. Координаты: A на левом берегу в точке x = a, B на правом берегу в точке x = b (то есть горизонтальная позиция городов вдоль берега задана числами a и b; по вертикали города расположены на своих берегах). Определите, где следует поставить мост (задайте положение моста по оси x, т. е. его горизонтальную проекцию на берег) так, чтобы суммарная длина дороги была минимальна. - Подзадачи: a) Запишите длину пути L(x) через переменную x, где x — горизонтальная позиция начала моста на левом берегу (и конца моста на правом берегу). Учтите, что путь состоит из: A→P по берегу (длина |a − x|), затем мост длиной d, затем Q→B по правому берегу (длина |b − x|). Что это за функция L(x)? b) Найдите точку x, которая минимизирует L(x). В каком интервале значений x достигается минимум? Какова минимальная длина L_min? c) Сделайте вывод: где именно следует располагать мост (если a ≤ b, что произойдет? Можно ли утверждать, что место моста произвольно выбирается внутри интервала [min(a,b), max(a,b)])? Задание 2. Уточнение задачи с экономической точке зрения (для бизнесмена) - Вариант 1 (классическая): в той же конфигурации, но добавьте стоимость строительства дороги на единицу длины на берегу — p (стоимость прокладки километра по левому берегу) и q (стоимость прокладки километра по правому берегу). Стоимость моста за единицу длины и общую длину моста примем за фиксированную величину w (или учтем общую стоимость моста как константу). Постройте функцию совокупной стоимости C(x) и найдите значение x, минимизирующее C(x). - Вариант 2 (модификация): предположим, что стоимость по левому берегу и правому берегу может быть несимметричной: коэффициенты затрат p и q отличаются. Найдите условие, при котором оптимальная позиция моста лежит в интервале [a, b], и определите конкретное место: если p > q, где будет минимума; если p < q — где; если p = q — можно ли выбрать любое x между a и b? - Ответы должны показывать зависимость между экономическими параметрами и физическим размещением моста. Задание 3. Приветствование креативной трансформации (для развития критического мышления) - Преобразуйте исходную задачу в открыто-неопределенную формулировку: например, добавьте ограничение на максимальную ширину моста или на минимально допустимый участок для развязки, чтобы оценить, как эти ограничения меняют оптимальное место моста. Какие дополнительные данные понадобятся бизнесу для принятия решения: стоимость времени в пути, коэффициент риска, экологические затраты, возможность прокладки обходного пути и т. п. Опишите, какие метапредметные и практико-ориентированные навыки развивает такая постановка. 2) Преобразование задачи в практико-прикладной формат в рамках ФГОС СООО (ФГОС общего образования) Задание 2 варианта (для соответствия ФГОС СОО): - Сюжет с инженерной перспективой: добавить инженерный аспект. Например: - Инженерная вставка: учесть уклон берега, грунтовые условия, устойчивость моста под предполагаемую грузоподъемность и погодные условия. Предположим, что на правом берегу требуется обеспечить уклон дороги к мосту, а по левая сторона требует выравнивания дорожного полотна. Распределите участки работ и ориентировочные затраты на строительные работы (земляные работы, фундамент, опоры, материалы). Какие параметры ландшафта влияют на выбор места моста и как они ограничивают x? - Альтернатива для прикладного применения в учебном плане: адаптируйте задачу под сельское хозяйство, архитектуру, биологию, химию или медицину по желанию. Например, в архитектурном варианте рассмотреть визуальные и функциональные требования к мосту; в биологическом варианте — экологические последствия размещения моста на месте, влияющие на речную экосистему. 3) Пример решения исходной задачи (обоснование и аккуратно по шагам) - Модель: возьмем координаты A(a, 0) на левом берегу и B(b, d) на правом берегу; P(x, 0) — начало моста на левом берегу; Q(x, d) — конец моста на правом берегу (мост вертикален и имеет длину d). Дорога разбивается на: A→P по берегу, затем мост P→Q длиной d, затем Q→B по берегу. - Длина пути: L(x) = |a − x| + d + |b − x|. - Анализ минимума: - Если a ≤ b, то для x ∈ [a, b] имеем |a − x| + |b − x| = (x−a) + (b−x) = b − a, то L(x) = d + (b − a), константа. - Для x вне этого интервала L(x) увеличивается. Таким образом, минимум достигается на любом x в интервале [min(a, b), max(a, b)]. Минимальная длина пути L_min равна d + |a − b|. - Практическое заключение: если мост ставится перпендикулярно берегам и не влияет на длину моста, то оптимальная позиция моста находится где-то между проекциями двух городов вдоль берега. Важный вывод: при отсутствии дополнительных экономических ограничений место моста не уникально определяется, а лежит в диапазоне между проекциями городов по оси x. - Пример с числами (для наглядности): - Пусть d = 20 (ширина реки), a = 0, b = 80. - Минимальное расстояние: L_min = 20 + |0 − 80| = 100. - Любое место моста с x ∈ [0, 80] даст минимальную длину 100. - Если учесть разные затраты p на участок слева и q на участок справа, то задача минимизации становится: C(x) = p|a − x| + q|b − x| + const. Аналитика показывает: если p > q, оптимум в x = a; если p < q, оптимум в x = b; если p = q, оптимум на любом x ∈ [a, b]. - Важное замечание для экономического анализа: фактический выбор точного места моста при p ≠ q может зависеть от дополнительных факторов (логистика строительных подрядчиков, доступность материалов, экологические ограничения). Они должны быть учтены в модели. 4) Рекомендации по оформлению отчета (кейса) и примеры формулировок - Формат отчета: можно сделать рукописный документ или электронный (jpg/pdf). Включить следующие разделы: - Титульный лист. - Введение: постановка задачи и цели проекта. - Математическая часть: формулы, переменные, задача оптимизации, решение с рассуждениями. - Математическая часть (практико-прикладная): вариант для бизнеса (модели затрат, расчет оптимального x и выводы). - Инженерная/прикладная вставка: учесть требования к мосту, уклоны, грунт, прочность. - Экономическая часть: оценка затрат и выгод, чувствительный анализ по p и q. - Выводы: что нашли, какие предположения, ограничения и дальнейшие шаги. - Приложения: чертежи, графики, расчеты. - Вопросы для самооценки и метапредметности: формулируйте вопросы так, чтобы они развивали критическое мышление и функциональную грамотность (поясните, как меняются результаты при изменении параметров). - Форматы сдачи: анкета/заявка на форму отправки работы через Яндекс.Форму или Google Форму. Укажите пример формулировки полей и требования к файлам: jpg или pdf, разборы и расчеты. 5) Конкретные примеры формулировок для заданий (готовы к копированию) - Задача 1 (модель и минимум): - Опишите координатную модель задачи: A(a,0), B(b,d), мост P(x,0)–Q(x,d). Найдите L(x) = |a−x| + d + |b−x|. Определите множество оптимальных x и минимальную длину пути. - Задача 2 (экономика/бизнес): - Пусть стоимость участка слева за км равна p, справа — q. Постройте C(x) = p|a−x| + q|b−x| + const. Найдите оптимальное x в зависимости от сравнения p и q. Что произойдет, если p > q, p < q, p = q? - Задача 3 (инженерная вставка): - Добавьте требования к мосту: допустимая нагрузка N, ширина моста w_m, допустимая максимальная уклона дороги. Какие дополнительные данные понадобятся, чтобы выбрать конкретное место x и проект моста? 6) Пример оформления отчета — краткая памятка - Цель проекта и входные данные. - Математическая постановка без перегружения деталями. - Пошаговое решение с обоснованием. - Варианты для бизнес-кейса и их влияние на выбор места моста. - Инженерная вставка и экологические/климатические факторы. - Итоговый вывод и рекомендации. - Приложения: чертежи, графики, вычисления. 7) Форматы подачи - По завершении кейса отправляйте работу в одном из форматов: - Яндекс.Формы: [укажите ссылку] - Google Формы: [укажите ссылку] (для входа в Google-аккаунт) - Формат файлов: jpg или pdf. - Максимальная оценка кейса — 10 баллов, распределение по пунктам аналогично приведенной вами системе. Если хочется, могу привести конкретный пример числового варианта с разбором под каждую часть и готовыми чертежами (условно: A на x=0, B на x=80, d=20, и т. д.), чтобы наглядно показать, как решать и какие выводы делать. Также могу адаптировать задания под нужный предмет и класс (математика, экономика, география/инженерия) — скажите, какой уровень и какой акцент вам нужен.