По наклонной плоскости из состояния покоя начинает скользить тело массой m=1 кг. Определить максимальную скорость тела, если сила сопротивления движению R= 0,08v
Решение задачи (цель: понять).
Дано:
- масса m = 1 кг,
- сила сопротивления движению (воздушное сопротивление) R = 0,08 v, направленная против движения,
- наклонная плоскость под углом θ к горизонту (компонента силы тяжести вдоль плоскости равна m g sin θ).
Задача: найти максимальную скорость тела, которое начинает двигаться из состояния покоя (терминальная скорость).
1) Силы вдоль наклонной плоскости
- Сила тяжести вдоль плоскости: m g sin θ, направлена вниз по плоскости.
- Сила сопротивления: R = 0,08 v, направлена вверх по плоскости.
- Следовательно, сумма сил вдоль плоскости: m g sin θ − 0,08 v.
2) Уравнение движения
По второму закону Ньютона вдоль плоскости:
m dv/dt = m g sin θ − 0,08 v.
Так как m = 1 кг, получилось:
dv/dt = g sin θ − 0,08 v.
3) Решение задачи как дифференциального уравнения
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение общего вида:
v(t) = v_term (1 − e^(−k t)), где
- k = 0,08 / m; здесь m = 1, значит k = 0,08,
- v_term = (m g sin θ) / 0,08 = (g sin θ) / 0,08.
Чтобы определить константу через начальные условия, учитываем, что из состояния покоя v(0) = 0. Тогда:
v(t) = (g sin θ)/0,08 · (1 − e^(−0,08 t)).
4) Максимальная скорость (термальная скорость)
Со временем экспонента стремится к нулю, поэтому
v_max = lim_{t→∞} v(t) = (g sin θ) / 0,08.
Это и есть искомая максимальная скорость.
5) Числовой вид (при желаемом угле θ)
Если под углом θ взять конкретное значение, можно посчитать численно. Например:
- при θ = 30°: sin θ ≈ 0,5, v_max ≈ (9,81 · 0,5) / 0,08 ≈ 61,3 м/с;
- при θ = 45°: sin θ ≈ 0,7071, v_max ≈ (9,81 · 0,7071) / 0,08 ≈ 109–110 м/с.
Без заданного угла ответ остаётся в виде зависимости: v_max = (g sin θ)/0,08 ≈ 122,6 · sin θ м/с (поскольку 9,81/0,08 ≈ 122,6).
Итог:
Максимальная скорость тела равна v_max = (g sin θ)/0,08. При начальном условии v(0) = 0 скорость возрастает по экспоненциальному закону v(t) = [(g sin θ)/0,08] · [1 − e^(−0,08 t)] и стремится к v_max. Если угол наклона не дан, ответ выражается через sin θ.
