"Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа…

Классно, давай разберемся по шагам и найдём правильное число верных.

1. Обозначим

• x = количество верных ответов
• y = количество неправильных ответов (y ≥ 1, так как условие говорит “по крайней мере один раз он ошибся”)
• z = количество вопросов без ответа Имеем x + y + z = 25 и общий счёт 7x − 10y + 0z = 42.

2. Решаем систему 7x − 10y = 42 Из этого 7x = 42 + 10y, значит x = (42 + 10y)/7 = 6 + (10y)/7. Чтобы x было целым, число 10y должно делиться на 7. Так как gcd(10,7) = 1, это значит, что y должно быть кратно 7. Пусть y = 7k, где k — натуральное число (k ≥ 1).

Тогда x = 6 + (10·7k)/7 = 6 + 10k.

3. Ограничим по количеству вопросов z = 25 − x − y = 25 − (6 + 10k) − 7k = 19 − 17k. Здесь z ≥ 0, поэтому 19 − 17k ≥ 0 → k ≤ 1. Но и k ≥ 1, чтобы y ≥ 1. Значит единственный возможный вариант: k = 1.

Получаем

• y = 7
• x = 16
• z = 2

Проверка: 7·16 − 10·7 = 112 − 70 = 42, всё верно.

4. Почему мой ответ 5 неверен Если x = 5, то счёт по формуле 7x − 10y = 42 даёт 35 − 10y = 42, что невозможно, так как левая часть не может быть равной 42 для любого y ≥ 0. С учётом условия хотя бы одного промаха (y ≥ 1), весь набор не может дать 42 очка. Поэтому 5 верных — невозможное решение.

Итого: правильный ответ — 16 верных.

Понравилось объяснение? Оцени лайком или дизлайком.