Тест по теме «График показательной функции» д) 3) 1. Указать все графики показательной функции (рисунки а-3) 2. Указать графики возрастающей показательной функции 3. Показательная функция является нечётной. Это верно? 4. Графики убывающих показательных функций изображены на рисунках b) 1 з). Это верно? 5. Единственный максимум существует в точке (0;1) - это верно? 6. Функция определена на R- - это верно? 7. Множество значений функции: R+ - это верно? 8. Эта функция - разрывная. Верно? 9. Ось ОХ ограничивает показательную функцию снизу. Это правильно? 10.Этот график называется… 11.График показательной функции с основанием >1 изображён на рисунке… 12.Для показательной функции с основанием о<а<1 график изображён на рисунке…? 13.Верно ли, что экспонента ограничена слева и справа? 14.Верно ли, что экспоненте ограничена сверху? 15.Привести 2-3 примера использования экспоненты в других областях (науках). ля. Введение.

Классная тема: графики показательной функции f(x) = a^x, где a > 0 и a ≠ 1. Основные свойства, которые пригодятся для решения задач на рисунках и утверждениях: - Домен: целая вещественная ось R. - Значения: y = a^x > 0 для всех x. Поэтому область значений — (0, +∞) (R+). - Точку (0;1) график обязательно проходит, потому что a^0 = 1. - График не имеет разрыва: он непрерывен на всей вещественной оси. - Порядок графика зависит от основания a: - если a > 1, график возрастает (растёт слева направо); - если 0 < a < 1, график убывает (убывает слева направо). - Горизонтальная асимптота: y = 0 (ось Ox) является горизонтальной асимптотой слева или справа в зависимости от a. То есть при либо x → +∞, либо x → −∞ график стремится к 0 и никогда не пересекает ось y = 0. - Экспонента не является ни чётной, ни нечётной в обычном смысле на всей R (для действительных оснований a > 0 функция не является нечётной, так как a^(-x) = 1/a^x ≠ -a^x). Теперь по пунктам задачи. Там, где даны изображения (рисунки a–3, рисунки b), без самих изображений точно определить невозможно. Ниже дам принципы, как определить нужные графики и дам ответы на общие формулировки. 1) Указать все графики показательной функции (рисунки а-3) - Без самих рисунков нельзя точно указать. Общий критерий: график должен проходить через точку (0, 1) и быть одной из двух форм: - возрастает и имеет тенденцию к бесконечности по мере увеличения x (a > 1), - убывает и стремится к +∞ слева и к 0 справа (0 < a < 1). - Поэтому для такого задания нужно выбрать из рисунков те, что удовлетворяют: - через точку (0, 1), - либо возрастает по мере роста x, либо убывает, - горизонтальная асимптота y = 0. - Если покажете рисунки, могу выбрать конкретно. 2) Указать графики возрастающей показательной функции - Это графики с базой a > 1. - Характеристики: через (0,1); возрастает слева направо; как x → −∞ график близок к 0, как x → +∞ — растёт без ограничений. - Отберите из рисунков те, что соответствуют этим свойствам (прохождение через (0,1) и возрастающий характер). 3) Показательная функция является нечётной. Это верно? - Нет. Пояснение: для любой положительной базы a > 0, a^x не является нечётной функцией. Обычно нечётной функцией называют такую, для которой f(-x) = -f(x). У экспоненты f(-x) = a^{-x} = 1/a^x, которая не равна -a^x. Единственный случай, когда можно подумать о нечётности в контексте экспонент, — это нелинейные или комплексные определения, но в рамках вещественных функций и реальных оснований такого не бывает. Значит: утверждение неверно. 4) Графики убывающих показательных функций изображены на рисунках b) 1 з). Это верно? - Убывающая экспонента соответствует 0 < a < 1. Пояснение: такими графиками будут те, которые слева направо убывают, проходят через (0,1) и стремятся к +∞ слева и к 0 справа (или наоборот в зависимости от того, как изображён диапазон). - Чтобы ответить точно, нужно увидеть рисунки. Но если на каком-либо рисунке график удовлетворяет свойствам 0 < a < 1 (убывание и через (0,1)), то он подходит. 5) Единственный максимум существует в точке (0;1) - это верно? - Нет. Поскольку f(0) = 1 и график экспоненты либо возрастает (a > 1), либо убывает (0 < a < 1), он не имеет finite максимума ни в какой точке. Значение в точке (0,1) не является максимумом по всей области определения. График бесконечно растёт или убывает в зависимости от основания, но не имеет единственного максимума. 6) Функция определена на R- это верно? - Да. При любом основании a > 0, a ≠ 1, функция a^x определена для всех реальных x, т. е. на всей оси R. 7) Множество значений функции: R+ - это верно? - Да. Значения экспоненты положительны: y = a^x > 0 для любого x. Поэтому диапазон (R+) совпадает с (0, +∞). 8) Эта функция — разрывная. Верно? - Нет. Экспонента непрерывна на всей вещественной оси. 9) Ось ОХ ограничивает показательную функцию снизу. Это правильно? - Да. Значения функции положительны и больше нуля, поэтому график лежит выше оси Ox (y = 0) и ось OX служит нижней огибающей (нижней границей в смысле, что y > 0). Формально y = 0 — горизонтальная асимптота слева или справа в зависимости от основания. 10) Этот график называется… - Без изображения нельзя точно назвать. Если речь идёт об обычном графике функции a^x, то он называется графиком экспоненциальной (показательной) функции. Если же на рисунке изображён другой тип графика, нужно увидеть изображение, чтобы назвать точно. 11) График показательной функции с основанием >1 изображён на рисунке… - В общем случае: график возрастающий, проходит через (0; 1) и имеет горизонтальную асимптоту y = 0. Если на рисунке виден такой график — это график a > 1. Укажите это свойство в ответе. 12) Для показательной функции с основанием 0 < a < 1 график изображён на рисунке…? - В общем случае: график убывающий, тоже проходит через (0; 1) и имеет горизонтальную асимптоту y = 0, но слева и справа ориентация другая. Если на рисунке график убывающий и удовлетворяет этим условиям, он подходит. 13) Верно ли, что экспонента ограничена слева и справа? - Неверно в смысле «ограничена слева и справа» как конечной областью значений. Правильно: диапазон экспоненты — (0, +∞), то есть она ограничена снизу (к 0) и не ограничена сверху. 14) Верно ли, что экспоненте ограничена сверху? - Нет. 15) Привести 2–3 примера использования экспоненты в других областях (науках) - Примеры: - Финансы: сложные проценты. Формула роста капитала A = P(1 + r)^t, где r — процентная ставка, t — время. Это экспоненциальный рост. - Радиоактивный распад: N(t) = N0 e^{-λt}, где λ — постоянная распада; радиоактивность экспоненциально падает во времени. - Биология и экология: рост/population growth модели, например N(t) = N0 e^{rt}, где r — темп роста; в биологии популяции часто моделируют экспоненциальным ростом при достаточной Roma. - Физика и термодинамика: закон охлаждения Ньютона — T(t) = T_env + (T0 − T_env) e^{-kt}, экспонента описывает затухание температуры к окружающей среде. - Химия: скорость реакции при постоянной температуре иногда носит экспоненциальный характер через зависимость от энергии активации (закон Аррениуса). Если у вас есть сами изображения рисунков a–3, пришлите их — я точно помётю, какие графики соответствуют каждому пункту и дам конкретные ответы "да/нет" с пометками на рисунках. Также могу оформить ответы в виде готового решения для ученика уровня средней школы.