Х-7/х-5 + 20/х²-25 = 6/ х+5

Задача: (x − 7)/(x − 5) + 20/(x^2 − 25) = 6/(x + 5) 1) Область определения - Запрещены x = 5 и x = −5, потому что знаменатели обращаются в нуль. - Также заметим, что x^2 − 25 = (x − 5)(x + 5), так что эти же точки являются запретами. 2) Простейшее преобразование - Заметим, что x^2 − 25 = (x − 5)(x + 5). - Перепишем задачу через общие множители: (x − 7)/(x − 5) + 20/[(x − 5)(x + 5)] = 6/(x + 5) 3) Устранение знаменателей - Возьмем общий знаменатель (x − 5)(x + 5) и умножим обе части на него (при этом следует помнить про область определения, чтобы не «выпасть» за пределы допустимого). - Получаем: (x − 7)(x + 5) + 20 = 6(x − 5) 4) Раскрытие скобок и упрощение - Раскроем произведения: (x − 7)(x + 5) = x^2 + 5x − 7x − 35 = x^2 − 2x − 35 - Тогда LeftSide: (x^2 − 2x − 35) + 20 = x^2 − 2x − 15 - Правая часть: 6(x − 5) = 6x − 30 - Равнение стало: x^2 − 2x − 15 = 6x − 30 - Перенесем все в одну сторону: x^2 − 2x − 15 − 6x + 30 = 0 x^2 − 8x + 15 = 0 5) Решение квадратного уравнения - Разложим квадратный многочлен: x^2 − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5) = 0 - Следовательно, x = 3 или x = 5. 6) Проверка на делимость и исключение недопустимых корней - Из области определения мы знаем, что x ≠ 5 и x ≠ −5. Значит x = 5 отвергается. - Проверим оставшийся корень x = 3 в исходном уравнении: Левая часть: (3 − 7)/(3 − 5) + 20/(9 − 25) = (−4)/(−2) + 20/(−16) = 2 − 1.25 = 0.75 Правая часть: 6/(3 + 5) = 6/8 = 0.75 Совпадает, значит корень верный. Итого: - Единственный допустимый корень: x = 3.