х-7/х-5 + 20/х²-25 = 6/ х+5

Задача: (x − 7)/(x − 5) + 20/(x^2 − 25) = 6/(x + 5)

1. Область определения

• Запрещены x = 5 и x = −5, потому что знаменатели обращаются в нуль.
• Также заметим, что x^2 − 25 = (x − 5)(x + 5), так что эти же точки являются запретами.

2. Простейшее преобразование

• Заметим, что x^2 − 25 = (x − 5)(x + 5).
• Перепишем задачу через общие множители: (x − 7)/(x − 5) + 20/[(x − 5)(x + 5)] = 6/(x + 5)

3. Устранение знаменателей

• Возьмем общий знаменатель (x − 5)(x + 5) и умножим обе части на него (при этом следует помнить про область определения, чтобы не «выпасть» за пределы допустимого).
• Получаем: (x − 7)(x + 5) + 20 = 6(x − 5)

4. Раскрытие скобок и упрощение

• Раскроем произведения: (x − 7)(x + 5) = x^2 + 5x − 7x − 35 = x^2 − 2x − 35
• Тогда LeftSide: (x^2 − 2x − 35) + 20 = x^2 − 2x − 15
• Правая часть: 6(x − 5) = 6x − 30
• Равнение стало: x^2 − 2x − 15 = 6x − 30
• Перенесем все в одну сторону: x^2 − 2x − 15 − 6x + 30 = 0 x^2 − 8x + 15 = 0

5. Решение квадратного уравнения

• Разложим квадратный многочлен: x^2 − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5) = 0
• Следовательно, x = 3 или x = 5.

6. Проверка на делимость и исключение недопустимых корней

• Из области определения мы знаем, что x ≠ 5 и x ≠ −5. Значит x = 5 отвергается.
• Проверим оставшийся корень x = 3 в исходном уравнении: Левая часть: (3 − 7)/(3 − 5) + 20/(9 − 25) = (−4)/(−2) + 20/(−16) = 2 − 1.25 = 0.75 Правая часть: 6/(3 + 5) = 6/8 = 0.75 Совпадает, значит корень верный.

Итого:

• Единственный допустимый корень: x = 3.