X^1/2+x^2/3=x^5/6

Задача: x^{1/2} + x^{2/3} = x^{5/6} 1) Домена - Чтобы корни и дробные степени были определены в реальных числах, обычно берем x ≥ 0. Поэтому будем искать решения на x ≥ 0. 2) Замена - Пусть t = x^{1/6}. Тогда t ≥ 0 и: - x^{1/2} = t^3 (потому что (x^{1/6})^3 = x^{1/2}) - x^{2/3} = t^4 (потому что (x^{1/6})^4 = x^{4/6} = x^{2/3}) - x^{5/6} = t^5 3) Приведение уравнения к т - Приводим задачу к т: t^3 + t^4 = t^5. - Перепишем в стандартном виде: t^5 - t^4 - t^3 = 0. - Факторизуем: t^3(t^2 - t - 1) = 0. 4) Решения по t - Если t^3 = 0, то t = 0. - Если t^2 - t - 1 = 0, то t = (1 ± √5)/2. Из них допустимо только неотрицательное: t = (1 + √5)/2. 5) Возвращение к x - x = t^6. - Варианты решений: - t = 0 → x = 0. - t = (1 + √5)/2 → x = ((1 + √5)/2)^6. Это можно записать в виде 9 + 4√5 (по вычислениям через φ, где φ = (1 + √5)/2). Проверочно: φ^6 = 9 + 4√5. Итого, действительные решения уравнения: - x = 0 - x = 9 + 4√5 ≈ 17.9443 Краткое подтверждение: если t = (1 + √5)/2, то t^2 = t + 1, значит t^3 + t^4 = t^3(1 + t) = t^3 t^2 = t^5, что совпадает с исходным уравнением.