x^1/2+x^2/3=x^5/6

Задача: x^{1/2} + x^{2/3} = x^{5/6}

1. Домена

• Чтобы корни и дробные степени были определены в реальных числах, обычно берем x ≥ 0. Поэтому будем искать решения на x ≥ 0.

2. Замена

• Пусть t = x^{1/6}. Тогда t ≥ 0 и:
  • x^{1/2} = t^3 (потому что (x^{1/6})^3 = x^{1/2})
  • x^{2/3} = t^4 (потому что (x^{1/6})^4 = x^{4/6} = x^{2/3})
  • x^{5/6} = t^5

3. Приведение уравнения к т

• Приводим задачу к т: t^3 + t^4 = t^5.
• Перепишем в стандартном виде: t^5 - t^4 - t^3 = 0.
• Факторизуем: t^3(t^2 - t - 1) = 0.

4. Решения по t

• Если t^3 = 0, то t = 0.
• Если t^2 - t - 1 = 0, то t = (1 ± √5)/2. Из них допустимо только неотрицательное: t = (1 + √5)/2.

5. Возвращение к x

• x = t^6.
• Варианты решений:
  • t = 0 → x = 0.
  • t = (1 + √5)/2 → x = ((1 + √5)/2)^6. Это можно записать в виде 9 + 4√5 (по вычислениям через φ, где φ = (1 + √5)/2). Проверочно: φ^6 = 9 + 4√5.

Итого, действительные решения уравнения:

• x = 0
• x = 9 + 4√5 ≈ 17.9443

Краткое подтверждение: если t = (1 + √5)/2, то t^2 = t + 1, значит t^3 + t^4 = t^3(1 + t) = t^3 t^2 = t^5, что совпадает с исходным уравнением.