На концах часовых отметок круглого циферблата часов поставили 12 точек. Затем соединили отрезками те точки, которые соответствуют часовым отметкам с разницей в 4 или 5 часов. Если…

Ответ: 18

Пошаговое решение

1. Постановка задачи в геометрической форме

• Есть 12 точек на окружности, соответствующих отметкам часов (разброс по углам по 30 градусов).
• Соединяем отрезками пары точек, если их разница по часам равна 4 или 5 (то есть расстояние между ними по окружности равно 4 или 5 часовых шагов). Таких отрезков всего 12 пар для разницы 4 и 12 пар для разницы 5, итого 24 отрезка.

2. Взаимодействие с прямой, полученной из часовой стрелки

• Момент между отметками: часовая стрелка образует прямую, проходящую через центр круга (диаметр).
• Диаметр делит 12 точек на две равные половины по 6 точек. Пусть одна половина A = {0,1,2,3,4,5}, другая B = {6,7,8,9,10,11} (нумерацию произвольно, с учётом круговой симметрии).

3. Что значит «пересечься» с этим отрезком

• Диагональная прямая пересечёт отрезок, если концы отрезка лежат в разных половинах A и B.
• То есть считаем только ребра между A и B.

4. Подсчёт ребер между A и B

• У каждого i ∈ A соседями по графу являются i±4 и i±5 (модулярно по 12).
• Для каждого i из A смотрим, какие из этих соседей попадают в B.

Таблица количества соседей в B:

• i = 0: соседей в B — 8 и 7 → 2
• i = 1: соседей в B — 9, 6, 8 → 3
• i = 2: соседей в B — 6, 10, 7, 9 → 4
• i = 3: соседей в B — 7, 11, 8, 10 → 4
• i = 4: соседей в B — 8, 9, 11 → 3
• i = 5: соседей в B — 9, 10 → 2

Сумма: 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 = 18.

5. Проверка (инвариантность и общая арифметика)

• Всего ребер 24 (12 ребер для разницы 4 и 12 для разницы 5).
• Ребра внутри одной половины (A–A и B–B) суммарно дают 3 ребра внутри A и 3 внутри B (по аналогии с симметрией).
• Тогда ребра между A и B равно 24 − 3 − 3 = 18. Это совпадает с предыдущим подсчётом.

6. Вывод

• Независимо от момента между отметками (при условии, что линия не совпадает с отметкой), диаметр пересекает ровно 18 отрезков.