На сторонах угла P отложены равные отрезки PB и PD.На биссектрисе PC угла P взяты точки K и C так, что PC больше PK. Докажите, что треугольник CKD=CKB. С чертежом

Задача: на сторонах угла P отложены отрезки PB и PD с PB = PD. на биссектрисе PC угла P взяты точки K и C так, что PK < PC. Доказать, что треугольники CKD и CKB равны по конгруэнтности.

Пошаговое решение с объяснениями

1. Построение двух треугольников вокруг точки P

• Рассмотрим треугольники P B K и P D K.
• Из условия PB = PD.
• PK общая сторона обоих треугольников.
• Прямо по условию PC — биссектор угла BPD, следовательно PK лежит на биссектрисе. Значит угол BPK равен углу KPD (они оба равны половине угла BPD).
• По признаку SAS эти два треугольника P B K и P D K равны. Следовательно BK = DK (и соответствующие углы тоже равны).

2. Аналогично для точек C на той же биссектрисе

• Рассмотрим треугольники P B C и P D C.
• PB = PD (дано).
• PC — общая сторона.
• Угол BPC равен CPD, так как PC — биссектор ∠BPD.
• По признаку SAS эти два треугольника P B C и P D C равны. Следовательно BC = CD (и соответствующие углы равны).

3. Конгруэнтность треугольников CKB и CKD

• Теперь возьмем треугольники C K B и C K D.
• У них общая сторона CK.
• BK = DK (из шага 1).
• BC = CD (из шага 2).
• По признаку SSS треугольники C K B и C K D равны.

Вывод

• Треугольники CKD и CKB равны по конгруэнтности (CKD ≅ CKB). Соответствующие стороны: CK ↔ CK, KD ↔ KB, CD ↔ CB.

Замечание по чертежу

• На рисунке нарисуйте угол ∠BPD с вершиной P. На его лучах выберите точки B и D так, чтобы PB = PD.
• Постройте биссектрису PC этого угла и на ней отметьте точки K и C так, чтобы P, K, C лежали на одной прямой и PK < PC.
• Затем согласно рассуждениям выше можно увидеть совпадание треугольников CKD и CKB.