Дан треугольник MPK. Проведена окружность, причём центр окружности находится на стороне MK (К – точка, лежащая на окружности), также окружность касается стороны MP в точке P. Известно, что MK = 20, MP = 8. Найдите диаметр окружности.

Разберёмся пошагово и внимательно, задачу удобно решить в координатах. Условия: - Треугольник MPK. - Центр окружности лежит на стороне MK. - Окружность касается стороны MP в точке P (то есть MP — касательная к окружности в P). - К — точка на окружности (то есть K также лежит на окружности). - MK = 20, MP = 8. Нужно найти диаметр окружности. 1) Приведем к удобной системе координат - Поместим P в начало координат: P = (0, 0). - Так как MP — касательная в P, а касательная в P перпендикулярна радиусу OP, положим ось MP по оси x. Тогда M находится на расстоянии 8 от P вдоль оси x, но с другой стороны: M = (−8, 0). - Центр окружности O лежит на оси, перпендикулярной MP в точке P, то есть на оси y. Обозначим O = (0, r), где r > 0 — радиус окружности. Диаметр будет 2r. 2) Координаты точки K и условия на MK - Пусть K = (x, y). - Условие длины MK: (x + 8)^2 + y^2 = 20^2 = 400. (1) 3) Условия, что центр лежит на MK и K лежит на окружности - Так как O лежит на MK, найдём параметр t ∈ (0,1) такой, что O = M + t(K − M). Это даёт две независимые соотношения: - по x: 0 = −8 + t(x + 8) ⇒ t = 8/(x + 8). - по y: r = t·y = (8y)/(x + 8). (2) - Так как K лежит на окружности с центром O и радиусом r, выполняется OK = r: (x − 0)^2 + (y − r)^2 = r^2 ⇒ x^2 + y^2 − 2ry = 0 ⇒ x^2 + y^2 = 2ry. (3) 4) Сведение к двум переменным Из (2) имеем r = 8y/(x + 8). Подставим в (3): x^2 + y^2 = 2y · (8y/(x + 8)) = 16y^2/(x + 8). Упростим уравнение. Пусть a = x/y (при этом y ≠ 0; иначе K coincide бы с P, что невозможно). Тогда x = a y, и получаем: (a^2 + 1) = 16/(a y + 8) ⇒ (a^2 + 1)(a y + 8) = 16. (4) Из условия (1) в переменных a и y: (a y + 8)^2 + y^2 = 400. (5) Теперь решим систему (4) и (5) относительно a и y. Из (4): a y + 8 = 16/(a^2 + 1) ⇒ a y = 16/(a^2 + 1) − 8. Подставим в (5) и получим одно переменное. После алгебраических преобразований выходит: a^2 = 4/25 ⇒ |a| = 2/5. Используем одно из полученных значений в (4) для нахождения y. Пусть a = 2/5 (аналитически эквивалентно и другим знакам одновременно получится тот же результат для r). Тогда a^2 + 1 = 4/25 + 1 = 29/25, и из (4): a y + 8 = 16/(a^2 + 1) = 16/(29/25) = 400/29 ⇒ a y = 400/29 − 8 = 168/29. Следовательно y = (168/29)/a = (168/29)/(2/5) = 420/29. 5) Радиус и диаметр Из (2) находим радиус r: r = (8y)/(x + 8) = 8y/(a y + 8). Но a y + 8 = 400/29, а y = 420/29, значит r = 8 · (420/29) / (400/29) = 8 · 420 / 400 = 3360/400 = 42/5 = 8.4. Диаметр окружности D = 2r = 84/5 = 16.8. Ответ: диаметр окружности равен 84/5.