в равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника равен ABM равен 24 см

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM к BC. Периметр треугольника ABC равен 32 см, периметр треугольника ABM равен 24 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть AB = AC = a, BC = b, AM = h. Так как M — середина BC, MB = MC = b/2. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому угол AMB прямой и треугольник ABM — прямоугольный в точке M. Следовательно:

• AB = a — гипотенуза прямоугольного треугольника ABM,
• a^2 = h^2 + (b/2)^2.

Периметры заданы:

• Периметр ABC: 2a + b = 32
• Периметр ABM: a + h + b/2 = 24

Решение:

1. из 2a + b = 32 получаем b = 32 − 2a. Тогда b/2 = 16 − a.
2. из a + h + b/2 = 24 получаем h = 24 − a − (b/2) = 24 − a − (16 − a) = 8. Значит h = 8.
3. Подставим в равенство Пифагора a^2 = h^2 + (b/2)^2: a^2 = 8^2 + (16 − a)^2 = 64 + (256 − 32a + a^2) = 320 − 32a + a^2. Упрощаем: 0 = 320 − 32a ⇒ a = 10.
4. Тогда b/2 = 16 − a = 6 ⇒ b = 12.

Ответ:

• AB = AC = 10 см,
• BC = 12 см,
• AM = 8 см.

Проверка: Периметр ABC = 10 + 10 + 12 = 32 см, периметр ABM = 10 + 8 + 6 = 24 см. Всё верно.