у=х^4

Классическая задача: y = x^4.

Что можно сделать в рамках подготовки к экзамену:

• Основные свойства

  • Область определения: все действительные x. Область значений: y ≥ 0.
  • Функция четная: симметрична относительно оси y.
  • График: U-образная выпуклая парабола четвертой степени; нет асимптот.

• Производные

  • Первая производная: dy/dx = 4x^3.
  • Точка минимума: dy/dx = 0 при x = 0. Координаты минимума: (0, 0).
  • Вторая производная: d2y/dx2 = 12x^2 ≥ 0 для всех x. Функция выпуклая по всей области; инфлексий нет.

• Интегралы

  • Неопределённый интеграл: ∫ x^4 dx = x^5/5 + C.
  • Определённый интеграл: ∫_a^b x^4 dx = (b^5 − a^5)/5.

• Обратная функция

  • Функция не однозначна на всей области. Можно ограничить область, например x ≥ 0 или x ≤ 0, чтобы получить обратную функцию: при x ≥ 0 inverse y = y^(1/4) с y ≥ 0.

• Уравнения касательных

  • Уравнение касательной в точке a: y = f(a) + f'(a)(x − a) = a^4 + 4a^3(x − a) = 4a^3 x − 3a^4.

• Примеры значений

  • y(2) = 16.
  • Наклон касательной в x = 1: 4.

Если скажете, что именно нужно сделать (построить график, найти экстремумы и касательные, найти интегралы, найти обратную функцию или решить конкретную задачу), дам подробное решение.