На ребре DC правильной треугольной пирамиды взята точка М, так что МС=2DM. Докажите, что OM||(ABD), где точка О – центр треугольника АВС.

Задача: В правильной треугольной пирамиде ABCD взята точка M на ребре DC так, что MC = 2·DM. Обозначим O как центр (центр тяжести, т.е. centroid) треугольника ABC. Докажите, что OM параллельно plane ABD. Идея решения: зададим координаты так, чтобы вычисления шли очевидно. В правильной (регулярной) тетраэдре основание ABC является равносторонним треугольником, а вершина D лежит над центром основания. После подстановки координат мы получим явное выражение вектора OM и вектора нормали к плоскости ABD, и увидим, что их скалярное произведение равно нулю, следовательно OM перпендикулярен нормали к плоскости ABD и, следовательно, OM параллельно плоскости ABD. Пошаговое решение 1) Приведем координаты - Пусть сторона основания ABC равна a. Зададим: A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a/2, (√3/2)a, 0). - Центр основания O (центр массы треугольника ABC) равен среднему положению вершин: O = ((0 + a + a/2)/3, (0 + 0 + (√3/2)a)/3, 0) = (a/2, (√3/6)a, 0). - Вершина D над основанием находится на высоте h над плоскостью ABC, причем в правильной тетраэдре h = √(2/3)·a, и горизонтальная проекция D совпадает с O: D = (a/2, (√3/6)a, h). 2) Точка M на DC с DM:MC = 1:2 Пусть t — параметр вдоль DC от D к C, тогда DM = t|DC| и MC = (1−t)|DC|. Требуется DM:MC = 1:2, значит t/(1−t) = 1/2, откуда t = 1/3. Следовательно, M = D + (1/3)(C − D) = (2/3)D + (1/3)C. Вычислим координаты M: - x_M = (2/3)(a/2) + (1/3)(a/2) = a/2, - y_M = (2/3)(√3/6 a) + (1/3)(√3/2 a) = (5√3/18) a, - z_M = (2/3)h + (1/3)·0 = (2/3)h. 3) Вектор OM OM = M − O = (0, y_M − y_O, z_M − z_O) = (0, (5√3/18 a − √3/6 a), (2/3)h). Упростим y-компонент: (5√3/18 − √3/6) a = (5/18 − 3/18)√3 a = (2/18)√3 a = (√3/9) a. Значит, OM = (0, (√3/9)a, (2/3)h). 4) Нормаль к плоскости ABD Пусть AB = B − A = (a, 0, 0) и AD = D − A = (a/2, (√3/6)a, h). Нормаль plane ABD задана векторным произведением n = AB × AD: n = (0, −ah, (√3/6)a^2). 5) Проверка параллельности OM плоскости ABD OM параллельно плоскости ABD тогда и только тогда, когда OM перпендикулярно нормали n, то есть n · OM = 0. Вычислим скалярное произведение: n · OM = (0, −ah, (√3/6)a^2) · (0, (√3/9)a, (2/3)h) = (−ah)·(√3/9 a) + (√3/6 a^2)·(2/3 h) = −(√3/9) a^2 h + (√3/9) a^2 h = 0. Следовательно, n · OM = 0, значит OM перпендикулярно нормали к плоскости ABD, то есть OM лежит в самой плоскости ABD, т.е. OM параллельно плоскости ABD. 6) Заключение В правильной треугольной пирамиде ABCD точка M на ребре DC с DM:MC = 1:2 удовлетворяет тому, что OM параллельно плоскости ABD. Доказано. Дополнительные заметки - Замечание: результаты не зависят от конкретной длины стороны a благодаря подобию и симметрии правильной тетраэдры. - Векторный подход можно обобщить: при DM:MC = 1:2 точка M задаёт такие координаты, что OM становится параллельной плоскости ABD через факт, что D проецируется на O на основании тетраэдра. Но явный расчёт в выбранной системе координат наглядно демонстрирует факт.