2. Методики экспертных опросов. Непосредственное ранжирование. Пусть имеется n параметров, характеризующих качество продукции (например, n ее свойств). Каждому j-му эксперту…

Ниже — подробное решение задачи по методикам экспертных опросов, с пояснениями и пошаговыми примерами. Мы ориентируемся на общий школьный уровень и не привязываемся к конкретному предмету или классу. Поскольку цель задачи — «Понять», объяснения максимально детальные.

1. Что обычно делают в рамках задачи 2. Методики экспертных опросов

• Непосредственное (прямое) ранжирование: эксперт упорядочивает параметры по степени важности. Варианты рангов: 1 — самый важный, 2 — второй по важности, и т.д. При равной важности могут ставиться связанные ранги (одинаковые).
• Преобразование рангов: чтобы психологически удобнее выбирать сначала наиболее важное, ранги преобразуют обратным образом: ранги 1…n превращаются в n…1 (то есть рангу 1 соответствует n, рангу n — 1). Итоговый ранг i-го параметра от эксперта j называется преобразованным рангом.
• Коэффициенты весомости: для i-го параметра коэффициент весомости определяется как сумма преобразованных рангов по всем опрашиваемым экспертизам, нормируемая на общую сумму преобразованных рангов по всем параметрам и экспертам. Часто формула записывается так: w_i = (сумма по всем экспертам j преобразованных рангов r'{ij}) / (сумма по всем параметрам k и всем экспертам j преобразованных рангов r'{kj}) где r'_{ij} — преобразованный ранг i-го параметра у j-го эксперта.
• Методы парных сравнений (парные предпочтения): в группе существует три самых популярных варианта. В задаче приведены два варианта: частичное парное сравнение (матричный метод) и две другие формы. В любом случае идея такая: эксперт выбирает в паре двух параметров, какой из них более предпочтителен. Затем рабочая группа сводит эти ответы к числовым весам по парам (частоты превосходства) и дальше получает коэффициенты весомости.
• Согласованность мнений экспертов: оценивают конкордацию между ранжированиями разных экспертов. Основной показатель — коэффициент конкордации Кендалла-В (W). Он вычисляется по сумме ранговых сумм и имеет смысл варьироваться в диапазоне от 0 (полной несогласованности) до 1 (полной согласованности).

Теперь пошагово разберём три ключевые части: (1) непосредственное ранжирование и преобразование рангов, (2) частичное парное сравнение (матричный метод), (3) определение коэффициента конкордации (конкордации мнений экспертов).

A. Непосредственное ранжирование и преобразование рангов (пункт 2.1)

Цель: получить преобразованные ранги r'_{ij} для каждого эксперта j и каждого параметра i.

Шаги:

1. Попросить экспертов пронумеровать параметры по убыванию важности.
   • Если n <= 10 — можно просто выписать ранги 1, 2, 3, ..., n без перекрестного анализа.
   • При большем n (n > 10) часто применяют прием: эксперт выбирает самый важный параметр и ставит ему ранг 1, затем удаляет его из списка и повторяет выбор, пока не пронумерует все параметры. Это упрощает задачу для экспертов.
2. Преобразование рангов (для психологической удобности и для расчётов):
   • Преобразованный ранг r'{ij} = n - r{ij} + 1.
   • Таким образом, наибольший исходный ранг (1) становится преобразованным рангом n, а наименьший исходный ранг (n) — преобразованным рангом 1.
   • Преобразованные ранги удобны, потому что более важный парамет получает больший преобразованный ранг.
3. Вычисление коэффициента весомости по всем экспертам:
   • Для i-го параметра суммируем преобразованные ранги по всем экспертам: S_i = sum_{j=1..N} r'_{ij}.
   • Общая сумма всех преобразованных рангов по всем параметрам и экспертам: T = sum_{i=1..n} sum_{j=1..N} r'_{ij}.
   • Тогда весомость i-го параметра: w_i = S_i / T.
   • Примечание: если некоторые w_i оказываются равны нулю (например, все эксперты считают этот параметр наименее важным), формулу можно скорректировать вручную или задать вес по экспертному методическому правилу.
4. Пример (упрощённый):
   • Пусть n = 4 параметры, и у одного эксперта ранги: r = [1, 3, 2, 4].
   • Преобразованные ранг: r' = [4, 2, 3, 1] (для n=4: r' = n - r + 1).
   • По одному эксперту S_i = r'_i: S = [4, 2, 3, 1], T = 10.
   • Вес: w = [0.4, 0.2, 0.3, 0.1].
   • Если есть несколько экспертов, складываем по каждому i и делим на общую сумму.

B. Частичный парный метод сравнения (матрица, принцип 2.2)

Цель: сделать ранжирование легче, сведя работу к элементарным решениям «выбери между двумя параметрами, какой лучше».

Шаги (для каждого эксперта):

1. Выдать экспертам неполную матрицу: на осях параметры 1..n. Заполняются только клетки справа от исходящей диагонали (то есть пары (i, j) с i < j).
2. В каждой клетке эксперт должен указать, между какими двумя параметрами он считает более важный: число по одной из двух номинаций — например, в клетке (i, j) указывают, какой параметр более важен: i или j.
   • Конкретно: в клетке записывается номер того параметра, который считается более важным среди пары (i, j). Например, если для пары (1, 3) эксперт считает параметр 3 более важным, то в клетке записывается 3.
3. Обработка заполненной матрицы техническим работником:
   • Для каждого параметра i подсчитывают частоту превосходства над другими параметрами в строке, то есть сколько раз параметр i был указан как более важный в строке i по сравнению с параметрами столбцов правее от диагонали.
   • Аналогично, для каждого параметра i подсчитывают частоту превосходства над параметрами в столбце, то есть сколько раз параметр i был указан как более важный в столбцах над строками.
   • Итоговая частота превосходства i-го параметра равна сумме частот из строки и частот из столбца: F_i = F_row(i) + F_col(i). (Здесь возможны небольшие различия в формулировке в методических источниках; суть — сколько раз i «побеждает» в парных сравнениях.)
4. Пример (упрощённый для иллюстрации, без расчётов по таблицам из оригинального примера):
   • Пусть n = 4, для пары (1,2) эксперт указал 1 (то есть параметр 1 важнее 2); пара (1,3) — 3; пара (1,4) — 4; пара (2,3) — 2; пара (2,4) — 2; пара (3,4) — 4.
   • Подсчитываем частоты: для каждого i считаем, сколько раз i «побеждал» в пары (i, j).
   • Получаем F_i для каждого i.
5. Нормализация весов:
   • Общая сумма всех F_i по всем экспертам: F_total = sum_i F_i.
   • Весомость i-го параметра по всем экспертам: w_i = F_i / F_total.
6. Комментарий по объединению нескольких экспертов:
   • Частоты можно считать суммарно по всем экспертам (сложить F_i по j и затем нормировать).
   • При наличии зависимости между результатами экспертов можно использовать весовую среднюю или другие методы агрегации, но базовый подход — простая сумма частот.

Важно помнить:

• В обоих методах возможны ties (связанные ранги). Для парных сравнений можно учитывать их как равные — дать каждому из пары поровну долю очков (например, по 0.5 каждому участнику) и продолжать расчёты.
• При неполном парном сравнении (матрица заполняется не полностью) итоговые частоты и веса всё равно считаются по тем парам, которые были затронуты экспертами.

C. Определение согласованности мнений экспертов (пункт 3)

Цель: оценить, насколько мнения экспертов сходны между собой.

Шаги (для порядка 3.3–3.4 в тексте):

1. Каждый эксперт 3.2 ранжирует все объекты (в нашем случае — 12 подсистем).
   • Пусть для эксперта j есть ранг i-го объекта R_i^(j) (для i = 1..m, здесь m = 12).
2. Для каждого объекта i вычисляется сумма рангов по всем экспертам:
   • R_i = sum_{j=1..N} R_i^(j).
3. Вычисляется средняя сумма рангов:
   • R_bar = N * (m + 1) / 2.
   • Это средняя сумма рангов по каждому объекту, если рассмотреть вклад каждого эксперта.
4. Отклонения и сумма квадратов отклонений:
   • d_i = R_i - R_bar.
   • S = sum_{i=1..m} d_i^2.
5. Коэффициент конкордации (коэффициент согласованности) W:
   • W = (12 * S) / (m^2 * (N^3 - N)).
   • Где:
     • m — число объектов (здесь 12 подсистем),
     • N — число экспертов (в примере — 9 студентов).
6. Интерпретация:
   • W ∈ [0, 1].
   • W близкий к 1 означает очень высокую согласованность мнений экспертов.
   • W близкий к 0 означает слабую совокупную согласованность.
7. Примечание:
   • В случае небольшого числа объектов или экспертов значения W могут быть нестабильны. При необходимости статистически можно оценивать значимость W (например, через симуляции or точечные тесты). В рамках учебной задачи это обычно не требуется, достаточно сами значения.

D. Как это применить к заданию 4.4 (порядок выполнения работы)

• 4.1 Собрать рабочую группу из девяти студентов.
• 4.2 Провести опрос по подсистемам автоматизированной информационной системы. В анкете 12 позиций. Для каждой подсистемы зафиксировать, какая из подсистем важнее другой (ранжирование 1, 2, …, 12). Обеспечить рандомизацию порядка для нейтрализации эффекта расположения элементов в списке.
• 4.3 Определить коэффициенты весомости по всем 12 пунктам анкеты двумя способами:
  • Прямое ранжирование: каждый эксперт самостоятельно расставляет ранги; затем выполняем преобразование рангов и считаем w_i по формуле w_i = sum_j r'{ij} / sum{k} sum_j r'_{kj}.
  • Частичные парные сравнения (матричный метод): по каждому эксперту заполняем верхнюю правую часть матрицы пар сравнения, затем считаем частоты превосходства по каждому параметру (F_i) и нормируем: w_i = F_i / sum_i F_i.
• 4.4 Определить согласованность мнений экспертов по коэффициенту конкордации W (для N=9 экспертов и m=12 подсистемами).

Короткое практическое примечание по применимости на экзамене:

• Чётко соблюдайте порядок: сначала собрать ряды рангов у каждого эксперта, затем преобразовать ранги (r' = n - r + 1) для целей весов, затем посчитать w_i.
• Для матричного метода объясните логику: эксперт делает выбор между каждой парой, затем сводим всю информацию к частотам побед по каждому параметру.
• Для конкордации — помните формулу W и смысл: чем ближе к 1, тем выше согласованность.

Дополнительные советы и небольшие примеры

• Пример 1 (небольшой набор, прямое ранжирование):
  • Пусть n = 4 параметры, ранги эксперта: r = [1, 3, 2, 4].
  • Преобразованные ранги: r' = [4, 2, 3, 1].
  • Если другой эксперт дал r = [2, 4, 1, 3], тогда r' = [3, 1, 4, 2].
  • Сумма по каждому параметру: S_1 = 4 + 3 = 7, S_2 = 2 + 1 = 3, S_3 = 3 + 4 = 7, S_4 = 1 + 2 = 3.
  • Общая сумма T = 7 + 3 + 7 + 3 = 20.
  • Веса: w_1 = 7/20 = 0.35, w_2 = 0.15, w_3 = 0.35, w_4 = 0.15.
• Пример 2 (конкордация, небольшие числа):
  • m = 3 подсистемы, N = 4 эксперта.
  • Каждый эксперт даёт ранг (1,2,3) по трём подсистемам. Пусть суммы рангов по каждому объекту получаются R_1 = 10, R_2 = 8, R_3 = 6.
  • R_bar = N*(m+1)/2 = 4*(3+1)/2 = 8.
  • d_i: [2, 0, -2].
  • S = 2^2 + 0^2 + (-2)^2 = 8.
  • W = 12S / (m^2(N^3 - N)) = 128 / (3^2(64-4)) = 96 / (9*60) ≈ 0.178.
  • Значение W ≈ 0.178 говорит о умеренной согласованности; не идеальная, но есть общая тенденция.

Итог

• Вы получили подробное руководство по трём основным частям задачи: (1) прямое ранжирование и преобразование рангов, (2) частичное парное сравнение (матричный метод) с подсчётом частот превосходства и получением весов, (3) оценка согласованности мнений экспертов через коэффициент конкордации В (Кендалла). Приведены шаги и понятные примеры, чтобы можно было применить это к анкете из задачи (12 подсистем) и к числу экспертов (9 студентов).
• Если хотите, могу помочь привести конкретные расчёты для вашего набора данных: какие именно ранги дали ваши эксперты, и затем посчитать преобразованные ранги, веса по прямому ранжированию и по матричному методy, а также вычислить коэффициент конкордации W.