Дан правильный тетраэдр DABC, каждое ребро кторого равно 6. Найди расстояние между прямыми AD и BC.

Цель: понять решение.

Дано правильный тетраэдр DABC, все ребра 6. Нужно найти расстояние между прямыми AD и BC (это противоположные ребра – они скрещиваются в пространстве).

Два способа получить ответ.

Способ 1: координаты и формула расстояния между скрещивающимися линиями

1. Введите удобные координаты для правильного тетраэдра ребра a = 6:

• A = (0, 0, 0)
• B = (6, 0, 0)
• C = (3, 3√3, 0)
• D = (3, √3, 2√6)

2. Направления прямых AD и BC:

• u = AD = D − A = (3, √3, 2√6)
• v = BC = C − B = (−3, 3√3, 0)

3. Скрещённость и расстояние между скрещивающимися прямыми через вектор P2 − P1:

• Возьмём P1 = A и P2 = B, тогда P2 − P1 = B − A = (6, 0, 0).
• Пересечение линий определяется через формулу d = |(P2 − P1) · (u × v)| / |u × v|.

4. Вычислим вектор произведения: u × v = (−18√2, −6√6, 12√3), модуль |u × v| = 36.

5. Найдём числитель: (P2 − P1) · (u × v) = (6, 0, 0) · (−18√2, −6√6, 12√3) = −108√2, по модулю 108√2.

6. Следовательно, расстояние: d = (108√2) / 36 = 3√2.

Ответ: 3√2.

Способ 2: середины противоположных ребер (быстрый синтетический взгляд)

1. Найдём середины противоположных ребер:

• M_AD = (A + D)/2 = (1.5, √3/2, √6)
• M_BC = (B + C)/2 = (4.5, 1.5√3, 0)

2. Вектор между серединами: w = M_BC − M_AD = (3, √3, −√6).

3. Этот вектор перпендикулярен обоим ребрам AD и BC:

• u · w = (3, √3, 2√6) · (3, √3, −√6) = 9 + 3 − 12 = 0
• v · w = (−3, 3√3, 0) · (3, √3, −√6) = −9 + 9 + 0 = 0

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине w: |w| = √(3^2 + (√3)^2 + (√6)^2) = √(9 + 3 + 6) = √18 = 3√2.

Дополнительное замечание: Для общего ребра a расстояние между противоположными ребрами в правильном тетраэдре равно a/√2. Соответственно, при a = 6 получаем 6/√2 = 3√2.

Итог: расстояние между AD и BC равно 3√2.