нам известно масса земли и то что высота равна радиусу земли найдём первую космическую скорость спутника

Классический подход: для круговой орбиты скорость спутника определяется так, чтобы центростремительная сила компенсировала гравитационную.

1. Основа

• Сила тяжести: F_g = GMm / r^2
• Центростремительная сила для круговой орбиты: F_c = m v^2 / r
• Для круговой орбиты F_g = F_c, значит GMm / r^2 = m v^2 / r
• Отсюда v^2 = GM / r, следовательно v = sqrt(GM / r)

2. Применяем к данному случаю

• Высота спутника над поверхностью равна радиусу Земли, значит h = R. Радиус орбиты r = R + h = 2R.

Тогда:

• v = sqrt(GM / (2R))

3. Числовой пример (используем средние значения Земли)

• Масса Земли M ≈ 5.972 × 10^24 кг
• Радиус Земли R ≈ 6.371 × 10^6 м
• Гравиционная постоянная G ≈ 6.67430 × 10^(-11) м^3/(кг·с^2)

Расчёт:

• GM ≈ 6.67430×10^(-11) × 5.972×10^24 ≈ 3.9860×10^14 м^3/с^2
• r = 2R ≈ 2 × 6.371×10^6 ≈ 1.2742×10^7 м
• GM / r ≈ (3.9860×10^14) / (1.2742×10^7) ≈ 3.13×10^7
• v ≈ sqrt(3.13×10^7) ≈ 5.6×10^3 м/с

Ответ: первая космическая скорость на высоте, равной радиусу Земли, примерно 5.6 км/с.

Замечания:

• Это скорость для круговой орбиты. Если высота другая и орбита эллиптическая, формула будет немного другой.
• На Земле вблизи поверхности скорость круговой орбиты близка к 7.9 км/с; при r = 2R скорость уменьшается до примерно 5.6 км/с, как было рассчитано.