В тетраэдре DABC дано: уголADB=54°,уголBDC=72°,уголCDA=90°,DA=20 см,BD=18 см,DC=21см.Найдите:а)рёбра основания ABC данного тетраэдра; б)площади всех боковых граней

Дано: в тетраэдре DABC даны углы между ребрами, выходящими из вершины D: - ∠ADB = 54°, AD = 20 см, BD = 18 см - ∠BDC = 72°, BD = 18 см, DC = 21 см - ∠CDA = 90°, CD = 21 см, AD = 20 см Задача: а) найти рёбра основания ABC (AB, BC, AC); б) найти площади всех боковых граней ( ABD, BCD, CAD ). 1) Рёбра основания ABC - AB можно найти по треугольнику ABD: AB^2 = AD^2 + BD^2 − 2·AD·BD·cos(∠ADB) AB^2 = 20^2 + 18^2 − 2·20·18·cos(54°) cos(54°) ≈ 0.587785 AB^2 ≈ 400 + 324 − 720·0.587785 ≈ 724 − 423.205 ≈ 300.795 AB ≈ √300.795 ≈ 17.35 см - BC можно найти по треугольнику BDC: BC^2 = BD^2 + DC^2 − 2·BD·DC·cos(∠BDC) BC^2 = 18^2 + 21^2 − 2·18·21·cos(72°) cos(72°) ≈ 0.309017 BC^2 ≈ 324 + 441 − 756·0.309017 ≈ 765 − 233.617 ≈ 531.383 BC ≈ √531.383 ≈ 23.05 см - AC можно найти по треугольнику CDA. Здесь ∠CDA = 90°, поэтому: AC^2 = AD^2 + DC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 AC = 29 см Итак, рёбра основания ABC: - AB ≈ 17.35 см - BC ≈ 23.05 см - AC = 29 см 2) Площади боковых граней Площадь треугольника по двум сторонам и включённому углу: S = (1/2)·a·b·sin(θ). - Площадь ABD: стороны AD = 20, BD = 18, угол ∠ADB = 54°: S(ABD) = 0.5·20·18·sin(54°) sin(54°) ≈ 0.809016 S(ABD) ≈ 180·0.809016 ≈ 145.62 см^2 - Площадь BCD: стороны BD = 18, CD = 21, угол ∠BDC = 72°: S(BCD) = 0.5·18·21·sin(72°) sin(72°) ≈ 0.9510565 S(BCD) ≈ 189·0.9510565 ≈ 179.75 см^2 - Площадь CAD: стороны CD = 21, AD = 20, угол ∠CDA = 90°: S(CAD) = 0.5·21·20·sin(90°) = 210 см^2 Итого площади боковых граней: - S(ABD) ≈ 145.62 см^2 - S(BCD) ≈ 179.75 см^2 - S(CAD) = 210.00 см^2 Общая площадь всех боковых граней (сумма): ≈ 145.62 + 179.75 + 210.00 ≈ 535.37 см^2 Ответы: а) рёбра основания ABC: AB ≈ 17.35 см, BC ≈ 23.05 см, AC = 29 см б) площади боковых граней: S(ABD) ≈ 145.62 см^2, S(BCD) ≈ 179.75 см^2, S(CAD) = 210 см^2; сумма боковых граней ≈ 535.37 см^2