Найди точки функции y=2x^2+3

Рассмотрим функцию y = 2x^2 + 3. Это парабола вверх, график которой открывается вверх, с осью симметрии вдоль вертикальной прямой x = 0.

1. Общий вид точек графика

• Любая точка графика имеет вид (x, y) = (x, 2x^2 + 3), где x — любое действительное число.
• График симметричен относительно оси y (функция четная: f(-x) = f(x)).

2. Ключевые точки

• Вершина параболы (самая нижняя точка, так как коэффициент при x^2 положительный): x = 0. Значение y при этом x: y = 2(0)^2 + 3 = 3. Вершина: (0, 3).
• Ось симметрии: x = 0.
• Пересечение с осью y (y-перехват): при x = 0 получаем точку (0, 3). Это и есть пересечение с осью y.
• Пересечение с осью x (x-пересечение): решаем 2x^2 + 3 = 0. Здесь 2x^2 = -3, x^2 = -3/2 — вещественных решений нет. Значит реальных точек пересечения с осью x нет.

3. Диапазон значений (множество y)

• Так как парабола направлена вверх и вершина y = 3, получаем: y ≥ 3.
• То есть диапазон: [3, +∞).

4. Примеры конкретных точек (для наглядности)

• При x = -3: y = 2(9) + 3 = 21 → точка (-3, 21)
• При x = -2: y = 2(4) + 3 = 11 → точка (-2, 11)
• При x = -1: y = 2(1) + 3 = 5 → точка (-1, 5)
• При x = 0: y = 3 → точка (0, 3)
• При x = 1: y = 5 → точка (1, 5)
• При x = 2: y = 11 → точка (2, 11)
• При x = 3: y = 21 → точка (3, 21) (И так далее: для любого x получаем точку (x, 2x^2 + 3).)

5. Дополнительные заметки

• Производная: y' = 4x. Точка минимума (горизонтальная касательная) на вершине где x = 0, что согласуется с вершиной (0, 3).
• Можно увидеть параболу двумя способами: по формуле y = 2x^2 + 3 и по правилу: добавляем 3 к каждому значению квадрата.

Если нужно, могу привести еще больше точек или показать, как построить график пошагово на примере конкретного диапазона x.