1. Найдите f'(x) и f'(x0), если: a) f(x) = 3x^5 - 12x^2 + 6x + 2, x0 = 1; б) f(x) = x sin x, x0 = π/2. 2. Найдите f'(x), если: a) f(x) = (2x + 1)/(x - 3); б) f(x) = √[5]{x^3}; в) f(x) = 5x; г) f(x) = √(2x - 1). 3. Вычислите значение производной функции y = tg 4x в точке x0 = -π/4. 4. Найдите все значения x, при каждом из которых производная функции y = x^3 - 6x^2 + 9x - 11 равна нулю. 5*. Найдите f'(x), если: a) f(x) = 6/√x + 3√[4]{x^4}; б) f(x) = ln(3 + 2x); в) f(x) = x√(x^2 + 2x + 3). 6*. Точка движется по прямой. Зависимость её координаты x от времени t задана формулой x = 13 + 10t - 5t^2. Найдите момент времени t, когда точка остановится. 7*. Найдите производную функции f(x) = ln √(cos x).

Ниже подробные пошаговые решения для всех пунктов задачи. 1) Найдите f'(x) и f'(x0) a) f(x) = 3x^5 − 12x^2 + 6x + 2, x0 = 1 - Дифференцируем: f'(x) = 15x^4 − 24x + 6 - Значение в x0: f'(1) = 15·1^4 − 24·1 + 6 = 15 − 24 + 6 = −3 - Ответ: f'(x) = 15x^4 − 24x + 6; f'(1) = −3 б) f(x) = x sin x, x0 = π/2 - Дифференцируем по правилу произведения: f'(x) = sin x + x cos x - Значение в x0: f'(π/2) = sin(π/2) + (π/2) cos(π/2) = 1 + (π/2)·0 = 1 - Ответ: f'(x) = sin x + x cos x; f'(π/2) = 1 2) Найдите f'(x) для данных функций а) f(x) = (2x + 1)/(x − 3) - Используем частное: u = 2x + 1, u' = 2; v = x − 3, v' = 1 - f'(x) = (u'v − uv')/v^2 = [2(x − 3) − (2x + 1)·1]/(x − 3)^2 - Приводим к виду: f'(x) = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)^2 = −7/(x − 3)^2 - Домейн: x ≠ 3 - Ответ: f'(x) = −7/(x − 3)^2 б) f(x) = √[5]{x^3} = x^(3/5) - Производная: f'(x) = (3/5) x^(−2/5) - Домейн: x ≠ 0 (для x = 0 производная не существует) - Альтернативно можно записать как f'(x) = 3/(5 x^(2/5)) для x > 0; общая форма (для действительных x ≠ 0) − (3/5) x^(−2/5) - Ответ: f'(x) = (3/5) x^(−2/5) (x ≠ 0) в) f(x) = 5x - Просто: f'(x) = 5 - Ответ: f'(x) = 5 г) f(x) = √(2x − 1) = (2x − 1)^(1/2) - Дифференцируем: f'(x) = (1/2)(2x − 1)^(−1/2) · 2 = 1/√(2x − 1) - Домейн: 2x − 1 > 0 → x > 1/2 - Ответ: f'(x) = 1/√(2x − 1) (x > 1/2) 3) Вычислите значение производной y = tan(4x) в точке x0 = −π/4 - y' = d/dx [tan(4x)] = sec^2(4x) · 4 = 4 sec^2(4x) - В x0: 4x = 4(−π/4) = −π; cos(−π) = cos(π) = −1, sec^2(−π) = 1 - y'(−π/4) = 4 · 1 = 4 - Ответ: 4 4) Найдите все значения x, для которых производная f'(x) = 0, где f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x − 11 - f'(x) = 3x^2 − 12x + 9 = 3(x^2 − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3) - Обнуляем: x = 1 или x = 3 - Ответ: x ∈ {1, 3} 5)* Найдите f'(x) для следующих функций а) f(x) = 6/√x + 3√[4]{x^4} - 6/√x = 6x^(−1/2) → производная: −3 x^(−3/2) - √[4]{x^4} = |x| ⇒ на домене первой части x > 0, здесь функция определена только для x > 0, поэтому |x| = x и производная 3 - В рамках допустимого домена x > 0: f'(x) = −3 x^(−3/2) + 3 = 3 − 3/x^(3/2) - Ответ: f'(x) = 3 − 3/x^(3/2) (для x > 0) б) f(x) = ln(3 + 2x) - Производная: f'(x) = (1/(3 + 2x)) · 2 = 2/(3 + 2x) - Домейн: 3 + 2x > 0 - Ответ: f'(x) = 2/(3 + 2x) в) f(x) = x√(x^2 + 2x + 3) - Пусть Q(x) = x^2 + 2x + 3; f(x) = x·√Q - f'(x) = 1·√Q + x · [ (1/(2√Q))·(2x + 2) ] = √Q + x(x + 1)/√Q - Приводим к общему знаменателю: f'(x) = [Q + x(x + 1)]/√Q = [ (x^2 + 2x + 3) + (x^2 + x) ]/√Q = (2x^2 + 3x + 3)/√Q - Ответ: f'(x) = (2x^2 + 3x + 3) / √(x^2 + 2x + 3) 6)* Точка движется по прямой. x(t) = 13 + 10t − 5t^2. Найдите момент, когда точка остановится. - Скорость: v(t) = dx/dt = 10 − 10t - Остановка когда v(t) = 0 → 10 − 10t = 0 → t = 1 - Ответ: t = 1 7)* Найдите производную f(x) = ln√(cos x) - ln√(cos x) можно записать как (1/2) ln(cos x) - Производная: f'(x) = (1/2) · [−tan x] = −(1/2) tan x - Домейн: cos x > 0 (чтобы аргумент логарифма и корня был допустим) - Ответ: f'(x) = −(1/2) tan x, для cos x > 0 Если нужна дополнительная проверка по какому-то конкретному пункту или разбор другого варианта домена, скажи — объясню подробнее.