Решение в явном виде (пошагово)
Дано в идеальном LC-контуре происходят свободные колебания:
- заряд на обкладках конденсатора q = 2×10^-6 Кл
- сила тока в катушке i = 0.05 А
- ёмкость C = 5×10^-7 Ф
- индуктивность L = 0.02 Гн = 0.02 Гн (то есть 0.02 Гн = 0.02 Гн)
- Полная энергия электромагнитного поля в данный момент
Энергию в контуре можно разложить на две части:
- энергия конденсатора: E_C = (1/2) q^2 / C
- энергия индуктора: E_L = (1/2) L i^2
Итоговая энергия E = E_C + E_L.
Вычисления:
E_C = (1/2) (2×10^-6)^2 / (5×10^-7)
= (1/2) × (4×10^-12) / (5×10^-7)
= (1/2) × (8×10^-6)
= 4×10^-6 Дж
E_L = (1/2) L i^2 = (1/2) × 0.02 × (0.05)^2
= 0.01 × 0.0025
= 2.5×10^-5 Дж
E = E_C + E_L = 4×10^-6 + 2.5×10^-5 = 2.9×10^-5 Дж
Ответ 1: полная энергия электромагнитного поля в этот момент равна
E ≈ 2.9 × 10^-5 Дж.
- Максимальный заряд на обкладках конденсатора за процесс колебаний
При идеальном LC-контуре энергия сохраняется. Максимальный заряд на конденсаторе достигается в момент, когда ток i = 0 (весь энергию переходит в конденсатор).
Тогда E = E_C,max = (1/2) Q_max^2 / C.
Отсюда Q_max^2 = 2 E C, следовательно Q_max = sqrt(2 E C).
Подставим найденное E и данную C:
- 2 E C = 2 × (2.9×10^-5) × (5×10^-7) = 2.9×10^-11
- Q_max = sqrt(2.9×10^-11) ≈ 5.4×10^-6 Кл
Ответ 2: максимальный заряд на обкладках конденсатора
Q_max ≈ 5.4 μКл (то есть ≈ 5.4×10^-6 Кл).
Дополнительная проверка (для интуиции):
Максимальное напряжение на конденсаторе при Q_max:
V_max = Q_max / C ≈ (5.4×10^-6) / (5×10^-7) ≈ 10.8 В,
а энергия конденсатора при этом V_max действительно равна E: (1/2) C V_max^2 ≈ (1/2) × 5×10^-7 × (10.8)^2 ≈ 2.9×10^-5 Дж.
Итоги:
- Полная энергия контура в данный момент: E ≈ 2.9×10^-5 Дж.
- Максимальный заряд на обкладках конденсатора в процессе колебаний: Q_max ≈ 5.4×10^-6 Кл.
