Сформулируйте определение средней линии треугольника. Вы полните рисунок.

Определение и решение

Цель: понять, что такое средняя линия треугольника и какие свойства она имеет.

Определение

• Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Например, в треугольнике ABC середины AB и AC называются M и N, тогда MN — средняя линия.

Основные свойства (кратко)

• MN ∥ BC (средняя линия параллельна третьей стороне).
• |MN| = |BC| / 2 (длина средней линии равна половине длины противоположной стороны).

Пошаговое обоснование (которое можно привести в виде короткого доказательства)

• Пусть ABC – треугольник. Обозначим M как середину AB, N как середину AC.
• По координатному доказательству: возьмём систему координат так, чтобы A была в начале (A = (0,0)), B = (x2, y2), C = (x3, y3).
  • Тогда M = ((x2)/2, (y2)/2), N = ((x3)/2, (y3)/2).
  • Вектор MN = N − M = ((x3 − x2)/2, (y3 − y2)/2) = 1/2 · (C − B) = 1/2 · BC.
  • Значит MN параллельна BC и её длина в два раза короче BC: |MN| = 1/2 |BC|.
• Вывод: средняя линия MN параллельна противоположной стороне BC и её длина равна половине BC. Аналогично для любых двух сторон можно провести замену.

Дополнительные заметки

• Если соединить все три середины сторон треугольника (M на AB, N на AC, P на BC), получится треугольник МNP — медианный треугольник. Он подобен исходному треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2, его площадь равна 1/4 площади ABC.

Пример для наглядности (числовой)

• Пусть A(0,0), B(6,0), C(0,4).
  • M — середина AB = (3,0), N — середина AC = (0,2).
  • MN вектор = N − M = (−3, 2). Длина |MN| = √(9+4) = √13.
  • BC вектор = C − B = (−6, 4). Длина |BC| = √(36+16) = √52 = 2√13.
  • Очевидно, |MN| = 1/2 |BC| и MN ∥ BC.

Как заполнить рисунок (инструкция)

• Нарисуйте треугольник ABC.
• Найдите и отметьте середины двух сторон, например M на AB и N на AC.
• Соедините M и N прямым отрезком — получится средняя линия MN.
• Подпишите: MN параллельна BC и MN = BC/2.
• По желанию можно отметить третью точку P — середину BC, и показать, что треугольник MNP подобен ABC с коэффициентом 1/2 (медианный треугольник).

Если нужно, могу адаптировать объяснение под конкретный класс или привести ещё один способ доказательства (например, через подобие треугольников без координат).