Теорема диагоналей

Ниже подробное объяснение теоремы диагоналей (правила диагоналей Сарруса) для матрицы размером 3×3 и пример применения. 1) Что это за теорема - Для любой 3×3 матрицы A = [ [a, b, c], [d, e, f], [g, h, i] ] - детерминант det(A) вычисляется как сумма произведений по двум наборам диагоналей: det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh. - Эту формулу часто называют теоремой диагоналей или правилом диагоналей Сарруса (Sarrus' rule). 2) Как применять (пошагово) - Шаг 1: Запишите матрицу и повторите первые две колонки справа: [ [a, b, c, a, b], [d, e, f, d, e], [g, h, i, g, h] ] - Шаг 2: Найдите три диагонали, идущие слева направо (сверху вниз), длиной 3 элемента, и возьмите их произведения: a·e·i, b·f·g, c·d·h - Шаг 3: Найдите три диагонали, идущие справа налево (сверху направо вверх), длиной 3 элемента, и возьмите их произведения: c·e·g, a·f·h, b·d·i - Шаг 4: Сложите первые три произведения, затем вычтите сумму вторых трёх произведений: det(A) = (aei + bfg + cdh) − (ceg + afh + bdi) 3) Пример (наглядно) Пусть A = [ [2, -1, 3], [4, 0, -2], [1, 5, 3] ] - Продукты по диагоналям слева направо: aei = 2 · 0 · 3 = 0 bfg = (-1) · (-2) · 1 = 2 cdh = 3 · 4 · 5 = 60 Сумма: 0 + 2 + 60 = 62 - Продукты по диагоналям справа налево: ceg = 3 · 0 · 1 = 0 afh = 2 · (-2) · 5 = -20 bdi = (-1) · 4 · 3 = -12 Сумма: 0 + (-20) + (-12) = -32 - Детерминант: det(A) = 62 − (−32) = 94 Проверка другим способом (по формуле разложения по модулям) даёт тот же результат. 4) Несколько замечаний - Правило диагоналей работает только для 3×3 матриц. Для других размерностей применяют разложение по минорным детерминантам или метод Гаусса. - Важно соблюдать порядок и знаки: det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh. - Маленькая подсказка для запоминания: три первые продукты идут “в одну сторону”, три последние — “в другую”, и между ними стоит знак минус. Если хочешь, могу привести ещё пару примеров с разными числами или показать краткое доказательство через разложение по модулям/перестановок.