Задача Задача №3495072
А
А
Найти периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 4 см и 9 см
Задача: найти периметр параллелограмма ABCD, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки длиной 4 см и 9 см.
Пусть ABCD — параллелограмм. Пусть угол BAD образован сторонами AB и AD. Биссектриса этого угла пересекает противоположную сторону CD в точке E, так что DE = 4 см, EC = 9 см (или наоборот).
- Обозначим длины сторон:
- AB = CD = x (длину стороны AB назовём x).
- AD = BC = y (длину стороны AD назовём y).
- Что известно про разрез стороны CD биссектрисой угла BAD? Из геометрии параллелограмма видно, что сторона CD параллельна AB, а сторона AD параллельна BC. При проведении биссектрисы из угла BAD точка E на стороне CD делит CD так, что длина отрезка DE равна y, а длина EC равна x − y. Это следует из координатного подхода (ниже кратко обосновано) и свойств параллелограмма.
Обоснование в двух строках (кратко):
- Пусть A — начало векторной системы, AB = b, AD = d. Тогда CD = AB = b, а точка E на CD задаётся как E = D + s·b. В биссектрисе направления делят вектор суммы единичных направлений along AB и along AD, что приводит к равенствам и, в итоге, ED = |d| = y, а EC = |b| − |d| = x − y.
- По условию задачи DE и EC заданы как 4 см и 9 см. Следовательно:
- y = AD равна одной из величин 4 или 9.
- x − y равна другой величине, то есть x − y = 9 или 4 соответственно.
- Таким образом x = DE + EC = 4 + 9 = 13 см.
Итак, AB = x = 13 см, а AD = y ∈ {4 см, 9 см}.
- Периметр параллелограмма: P = 2(AB + AD) = 2(x + y) = 2(13 + y).
Значения y:
- Если y = 4 см, тогда P = 2(13 + 4) = 34 см.
- Если y = 9 см, тогда P = 2(13 + 9) = 44 см.
Вывод: Периметр параллелограмма может быть либо 34 см, либо 44 см, в зависимости от того, какая из сторон (AD) равна 4 см или 9 см. Оба варианта совместимы с данными условиями задачи.
