x³+4x²-3x-6=0

Решение уравнения x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = 0

Цель: понять пошагово, как найти корни.

1. Найдём целочисленные корни (используем признак рациональных корней)

• Возможные рациональные корни: делители свободного члена (-6) делённые на делители ведущего коэффициента (1) — то есть ±1, ±2, ±3, ±6.
• Подставим по очереди:
  • x = -1: (-1)^3 + 4(-1)^2 - 3(-1) - 6 = -1 + 4 + 3 - 6 = 0. Значит x = -1 является корнем.

2. Возьмём множитель (x + 1) и найдём остаток деления

• Разделим многочлен x^3 + 4x^2 - 3x - 6 на (x + 1). Можно сделать синтетическое деление:

  Коэффициенты: 1 4 -3 -6 С коэффициентом -1: 1 → делим, даём 1 1*(-1) = -1; 4 + (-1) = 3 3*(-1) = -3; -3 + (-3) = -6 -6*(-1) = 6; -6 + 6 = 0

• Частное деление: x^2 + 3x - 6. Значит разложение исходного многочлена: x^3 + 4x^2 - 3x - 6 = (x + 1)(x^2 + 3x - 6).

3. Решим квадратное уравнение x^2 + 3x - 6 = 0

• Дискриминант: D = 3^2 - 4·1·(-6) = 9 + 24 = 33.
• Корни квад. уравнения: x = (-3 ± sqrt(33)) / 2.

4. Запишем все корни

• x1 = -1
• x2 = (-3 + sqrt(33)) / 2
• x3 = (-3 - sqrt(33)) / 2

Приближённо:

• sqrt(33) ≈ 5.7446
• x2 ≈ (-3 + 5.7446)/2 ≈ 2.7446/2 ≈ 1.3723
• x3 ≈ (-3 - 5.7446)/2 ≈ -8.7446/2 ≈ -4.3723

Итак, корни уравнения: x = -1, x = (-3 + sqrt(33))/2, x = (-3 - sqrt(33))/2.