Найдите наибольшее значение функции у = х²+2x²-4х+4 на отрезке [-2:0]

Задача: найти наибольшее значение функции y = x^2 + 2x^2 − 4x + 4 на отрезке [-2, 0].

1. Упростим выражение y = x^2 + 2x^2 − 4x + 4 = 3x^2 − 4x + 4.

2. Найдём свойства параболы

• a = 3 > 0, значит график параболы открывается вверх; наибольшее значение на отрезке обычно достигается на концах.
• вершина параболы находится в x_v = −b/(2a) = 4/(6) = 2/3. Эта точка не лежит на отрезке [-2, 0], так что максимум на отрезке не связан с вершиной.

3. Рассмотрим производную (или монотонность) f'(x) = 6x − 4. На отрезке [-2, 0] выполняется 6x − 4 ≤ −4 < 0, следовательно функция строго убывает при x от −2 до 0. Значит максимум достигается в левом краю x = −2.

4. Вычислим значения в концах отрезка

• y(−2) = 3(−2)^2 − 4(−2) + 4 = 3·4 + 8 + 4 = 12 + 8 + 4 = 24.
• y(0) = 3·0^2 − 4·0 + 4 = 4.

5. Вывод Наибольшее значение функции на отрезке [-2, 0] равно 24, и достигается при x = −2.

Дополнительная заметка (необязательно, но чтобы увидеть структуру): можно записать y = 3(x − 2/3)^2 + 8/3. Это показывает, что минимум достигается в x = 2/3, а на отрезке [-2,0] максимум получается на краю, ближе к вершине — в x = −2, что и даёт значение 24.