Определить точки разрыва функций, исследовать характер этих точек и нарисовать эскизы графиков y=cos^2 1/x

Кратко: функция y = cos^2(1/x) определена на R \ {0}. Единственная точка, где возможен разрыв, – x = 0. Остальные точки являются точками непрерывности. Характер разрыва в 0 – осциллирующий (несводимый).

Подробности

1. Область определения

• D = (-∞, 0) ∪ (0, ∞).

2. Непрерывность на каждом отрезке разрыва

• Функция cos^2(1/x) композиция непрерывных функций на D, поэтому она непрерывна на (-∞, 0) и на (0, ∞).

3. Точка разрыва x = 0

• Предел x→0+: t = 1/x → +∞, cos^2 t принимает все значения из интервала [0, 1]. Аналогично x→0−, так как cos^2 t = cos^2(−t).
• Следствие: lim sup f(x) при x→0 равен 1, lim inf f(x) равен 0, предел вообще не существует.
• Таким образом, разрыв в точке 0 осциллирующий и несводимый (кластерный набор значений функции при стремлении к 0 равен [0, 1]).
• Формальные заметки:
  • f(x) = 1 при x = 1/(kπ), k ∈ Z \ {0} (поскольку cos(1/x) = cos(kπ) = ±1).
  • f(x) = 0 при x = 1/(π/2 + kπ), k ∈ Z.
  • По мере уменьшения |x| к 0 число таких точек растет и они заполняют окрестность нуля.
• Поведение на бесконечности: при |x| → ∞ аргумент 1/x → 0, значит f(x) → cos^2(0) = 1. Следовательно, график стремится к y = 1 на далеких дистанциях от нуля.

4. Эскиз графика

• График симметричен относительно оси y (f(−x) = f(x), так как cos^2(1/x) = cos^2(−1/x)).
• На больших |x| график близок к y = 1.
• В окрестности x = 0 график очень резко колеблется между 0 и 1; между ними бесконечно множество локальных максимумов и минимумов, плотность колебаний возрастает по мере приближения к нулю.
• Конкретные “ключевые” точки:
  • Точки максимума y = 1: x = ±1/(kπ), k = 1, 2, 3, …
  • Точки минимума y = 0: x = ±1/(π/2 + kπ), k = 0, 1, 2, …
  • Эти последовательности стремятся к 0.
• В итоге эскиз: в обе стороны от нуля график волнообразно колеблется между 0 и 1, всё ближе и плотнее при приближении к x = 0; дальше от нуля окрестности – плавнее, близко к 1.

Итог

• Единственная точка разрыва: x = 0.
• Характер разрыва: осцилллирующий (несводимый); предел не существует; множество приближений к любому значения из [0,1] в окрестности нуля.
• Элементы графика: значения 1 достигаются в x = ±1/(kπ); значения 0 достигаются в x = ±1/(π/2 + kπ); график симметричен и приближается к y = 1 на больших |x|.