распределительное свойство умножения

Задача: распределительное свойство умножения

Цель: понять и уметь применять распределительное свойство.

Что такое распределительное свойство

• Распределительное свойство умножения относительно сложения говорит: a · (b + c) = a · b + a · c.
• Аналогично верно: (b + c) · a = b · a + c · a (соответствует коммутативности умножения).
• Для вычитания можно записать: a · (b − c) = a · b − a · c.
• В общем виде: a · (b ± c) = a · b ± a · c, где знак справа соответствует знаку внутри скобок.

Как это работает наглядно

• Геометрически: представьте прямоугольник со стороной a и частями внутри, соответствующими b и c. Общая площадь равна a·(b+c). По свойству площадь можно разбить на две части: a·b и a·c, и их площади суммируются.
• Алгебраически: умножение за пределами скобок «распределяет» себя на каждый слагаемую внутри скобок.

Пошаговый разбор (пояснения)

1. Найдите внешний множитель и внутрь скобок – там сумма (или разность) нескольких членов.
2. Умножьте внешний множитель на каждый член внутри скобок по отдельности.
3. Сложите (или вычтите) полученные результаты.
4. В результате получите равенство (или упростите выражение) в зависимости от случая.

Примеры

1. 3 · (5 + 2)

• Применяем правило: 3 · (5 + 2) = 3 · 5 + 3 · 2
• Вычисляем: 15 + 6 = 21
• Проверка: 3 · 7 = 21. Обе стороны равны 21.

2. (8 + 4) · 3

• По правилу: (8 + 4) · 3 = 8 · 3 + 4 · 3
• Вычисляем: 24 + 12 = 36
• Проверка: 12 · 3 = 36. Верно.

3. 7 · (x + 4)

• Раскрываем: 7x + 28
• Применение: если подставить конкретное x, можно проверить численно.

Роящиеся к вычитанию примеры 4) 5 · (7 − 3)

• Раскрываем: 5 · 7 − 5 · 3
• Вычисляем: 35 − 15 = 20
• Проверка: 5 · 4 = 20. Верно.

5. (-4) · (6 + 2)

• Раскрываем: (-4) · 6 + (-4) · 2
• Вычисляем: -24 + (-8) = -32
• Проверка: (-4) · 8 = -32. Верно.

Примеры с десятичными и переменными 6) 0.5 · (3 + 1.2)

• Раскрываем: 0.5 · 3 + 0.5 · 1.2
• Вычисляем: 1.5 + 0.6 = 2.1

7. 9 · (2x + 3)

• Раскрываем: 9 · 2x + 9 · 3 = 18x + 27

Краткие выводы

• Распределительное свойство позволяет преобразовать произведение над скобками в сумму произведений.
• В любой задаче с a · (b ± c) сначала домножаем на каждый член внутри скобок, затем суммируем или вычитаем результаты.
• Это работает для любых чисел: целые, дроби, десятичные, и для переменных.

Задания для практики (реши по шагам, затем можно проверить)

1. 6 · (9 + 3) = ?
2. (12 − 5) · 4 = ?
3. (-2) · (7 + 5) = ?
4. 3.5 · (2 + 0.4) = ?
5. 9 · (2x + 3) = ?

Ответы:

1. 6 · 12 = 72; или 6·9 + 6·3 = 54 + 18 = 72
2. (7) · 4 = 28; или 12·4 − 5·4 = 48 − 20 = 28
3. (-2) · 12 = -24; или (-2)·7 + (-2)·5 = -14 - 10 = -24
4. 3.5 · 2 + 3.5 · 0.4 = 7 + 1.4 = 8.4
5. 18x + 27

Если хочешь, могу подобрать аналогичные задачи под конкретный уровень (класс) или привести больше примеров с разными видами чисел.