1.Найти период и частоту колебаний в контуре, ёмкостЬ конденсатора в котором 8,39 нФ, индуктивность катушки 1,42 мГн.
Задача относится к идеальному колебательному контуру L–C (без сопротивления). В таком контуре естественная частота задается формулой ω0 = 1/√(LC), где L — индуктивность, C — ёмкость (в единицах Гн и Ф, то есть Генри и Фарад).
- Преобразуем величины к базовым единицам:
- Ёмкость C = 8,39 нФ = 8,39 × 10^-9 Ф
- Индуктивность L = 1,42 мГн = 1,42 × 10^-3 Гн
Вычисляем произведение LC: LC = (1,42 × 10^-3) × (8,39 × 10^-9) = 1,19138 × 10^-11
Найдем √(LC) и угловую частоту: √(LC) ≈ √(1,19138 × 10^-11) ≈ 3,45225 × 10^-6 s ω0 = 1 / √(LC) ≈ 1 / (3,45225 × 10^-6) ≈ 2,895 × 10^5 рад/с
Частота f и период T:
- Частота колебаний: f = ω0 / (2π) ≈ (2,895 × 10^5) / (2π) ≈ 4,61 × 10^4 Гц = 46,1 кГц
- Период колебаний: T = 1 / f ≈ 1 / (4,61 × 10^4) ≈ 2,17 × 10^-5 с = 21,7 мкс
Ответ:
- Период T ≈ 2,17 × 10^-5 с (≈ 21,7 мкс)
- Частота f ≈ 4,61 × 10^4 Гц (≈ 46,1 кГц)
- Дополнительно: угловая частота ω0 ≈ 2,90 × 10^5 рад/с
Примечание: этот результат получен для идеального LC-контурa (с минимальным сопротивлением). В реальных схем наличие потерь приведёт к затухающим колебаниям, но для задачи используются формулы выше.
Обсуждение
2 сообщения2.Конденсатор какой ёмкости надо включить в колебательный контур, чтобы при индуктивности катушки 5 мкГн получить частоту свободных колебаний 10 МГц ? (Считать π2=10)
Чтобы найти ёмкость \( C \) конденсатора, необходимо использовать формулу для частоты свободных колебаний в контуре:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Где:
- \( f \) — частота (в Гц)
- \( L \) — индуктивность (в Генри)
- \( C \) — ёмкость (в Фарадах)
Мы можем преобразовать эту формулу для определения ёмкости \( C \):
\[ C = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} \]
Теперь подставим известные значения:
- Частота \( f = 10 \, \text{МГц} = 10 \times 10^6 \, \text{Гц} \)
- Индуктивность \( L = 5 \, \text{мкГн} = 5 \times 10^{-9} \, \text{Гн} \)
Теперь подставим эти значения в формулу:
\[ C = \frac{1}{(2\pi (10 \times 10^6))^2 (5 \times 10^{-9})} \]
Сначала рассчитаем \( (2\pi (10 \times 10^6))^2 \):
- \( 2\pi \approx 10 \) (по условию задачи)
- \( 2\pi (10 \times 10^6) \approx 10 \times 10^6 = 10^7 \)
Теперь, используя \( \pi^2 \approx 10 \):
\[ (2\pi (10 \times 10^6))^2 \approx 10^2 \times (10^7)^2 = 10 \times 10^{14} = 10^{15} \]
Таким образом, мы подставим \( C \):
\[ C = \frac{1}{10^{15} \cdot (5 \times 10^{-9})} \]
Теперь, перемножим:
\[ 10^{15} \cdot 5 \times 10^{-9} = 5 \times 10^{6} \]
Итак:
\[ C = \frac{1}{5 \times 10^{6}} = 0,2 \times 10^{-6} \, \text{Ф} = 2 \times 10^{-7} \, \text{Ф} = 200 \, \text{нФ} \]
Ответ: Необходимая ёмкость конденсатора составляет \( 200 \, \text{нФ} \).
