-x²+12x+45<0

Задача: -x^2 + 12x + 45 < 0

Пошаговое решение

1. Приведём квадратный член к обычной форме

• Умножим обе стороны на -1 (и знак неравенства поменяется на >): x^2 - 12x - 45 > 0

2. Найдём корни квадратного трёхчлена x^2 - 12x - 45

• Можно решить квадратное уравнение x^2 - 12x - 45 = 0.
• Дискриминант: D = (-12)^2 - 4·1·(-45) = 144 + 180 = 324.
• Корни: x = [12 ± sqrt(324)] / 2 = [12 ± 18] / 2 → x = 15 и x = -3.
• Факторизация: x^2 - 12x - 45 = (x - 15)(x + 3).

3. Определим, где произведение положительно

• Уравнение (x - 15)(x + 3) > 0.
• Принцип знаков для множителей: произведение положительно там, где множители имеют одинаковый знак.
• Разбиение на интервалы по корням: (-∞, -3), (-3, 15), (15, ∞).
• Проверим знаки на каждом интервале:
  • x < -3, например x = -4: ( -4 - 15 )( -4 + 3 ) = (-19)(-1) > 0.
  • -3 < x < 15, например x = 0: (0 - 15)(0 + 3) = (-15)(3) < 0.
  • x > 15, например x = 20: (20 - 15)(20 + 3) = (5)(23) > 0.

4. Вывод

• Решение неравенства x^2 - 12x - 45 > 0 — это x ∈ (-∞, -3) ∪ (15, ∞).
• Вернёмся к исходному неравенству: -x^2 + 12x + 45 < 0 имеет тот же набор решений, так как мы умножали на -1 и поменяли знак неравенства.
• Ответ: x ∈ (-∞, -3) ∪ (15, ∞).

Проверка простыми значениями:

• x = -4: -(-4)^2 + 12(-4) + 45 = -16 - 48 + 45 = -19 < 0, подходит.
• x = 0: -0 + 0 + 45 = 45 > 0, не подходит.
• x = 20: -400 + 240 + 45 = -115 < 0, подходит.

Итого: решение неравенства -x^2 + 12x + 45 < 0 это (-∞, -3) ∪ (15, ∞).