Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в в точке B.Найдите диаметр окружности,если AB=4,AC=16

Решение: Пусть A(0,0), B(4,0), центр O на вертикали через B имеет координаты O(4, r); O лежит на прямой AC, при этом AC = 16 и OC = r. Обозначим t = AO/AC, тогда O = tC, значит C = (4/t, r/t) и AC = 16 даёт (16 + r^2)/t^2 = 256, т.е. t^2 = (16 + r^2)/256. Также OC = (1 − t)·AC = 16(1 − t) = r. Подставляя t = sqrt(16 + r^2)/16, получаем r = 16 − sqrt(16 + r^2). Возводя в квадрат: 16 + r^2 = (16 − r)^2 = 256 − 32r + r^2, отсюда 32r = 240 ⇒ r = 7.5. Диаметр D = 2r = 15. Ответ: 15.