cos (x/2)=a

Задача: cos(x/2) = a

Пошаговое решение и объяснение

1. Введём переменную для простоты Пусть y = x/2. Тогда уравнение становится cos(y) = a.

2. Пределы на параметр Для реальных решений требуется -1 ≤ a ≤ 1. Если |a| > 1, решений нет.

3. Общий вид решения для cos(y) = a Для любой a в пределах [-1, 1] решение: y = ± arccos(a) + 2πk, где k ∈ Z, arccos(a) ∈ [0, π].

4. Возвращаемся к x Так как y = x/2, получаем: x = ± 2 arccos(a) + 4πk, где k ∈ Z.

5. Примеры каждого случая

   • Пример 1: a = 1/2 arccos(1/2) = π/3. x = ± 2·(π/3) + 4πk = ± 2π/3 + 4πk, k ∈ Z.
   • Пример 2: a = 1 arccos(1) = 0. x = ± 0 + 4πk = 4πk, k ∈ Z. То есть x = ..., -8π, -4π, 0, 4π, 8π, ...
   • Пример 3: a = -1 arccos(-1) = π. x = ± 2π + 4πk = 2π + 4πk или -2π + 4πk, что эквивалентно x = 2π(1 + 2k) или x = -2π(1 + 2k).

6. Важные замечания

   • Если нужно решение в конкретном промежутке по x, например 0 ≤ x < 2π, то достаточно посчитать x = 2 arccos(a) (при условии, что а в [-1, 1]). Другие члены семейства могут выходить за этот интервал из-за периодичности.

Итог

• Реальные решения существуют только при -1 ≤ a ≤ 1.
• Общий вид решений: x = ± 2 arccos(a) + 4πk, k ∈ Z.