Выберите все верные утверждения: 1.Около любой трапеции можно описать окружность. 2.Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку 3.Из всех треугольников данного периметра равносторонний имеет наибольшую площадь 4.Диагонали прямоугольника перпендикулярны 5.Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания

Задача: выбрать все верные утверждения и привести обоснование. Верные утверждения: 2, 3, 5 Неверные утверждения: 1, 4 Обоснование по пунктам: 1) Около любой трапеции можно описать окружность. - Это неверно. Классическая теорема: четырехугольник выпуклый является вписанным в окружность (цикл) тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. У трапеции это выполняется не всегда; необходимо, чтобы трапеция была равнобочной (боковые стороны равны). Неравнобочная трапеция не обязательно cyclic. Приведем контрпример: возьмем трапецию с параллельными основаниями, где боковые стороны не равны. Можно проверить на конкретных координатах, что окружности через три вершины не проходят через четвертую. Следовательно, не каждая трапеция вписана в окружность. 2) Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку. - Верно. Множество точек X такого, что XA = XB (где A и B — концы отрезка AB) образует перпендикуляр к отрезку AB, проходящий через середину AB — это перпендикулярная биссекторная прямая. Таким образом, геометрическое место равноудалённых точек — прямая, перпендикулярная отрезку. 3) Из всех треугольников данного периметра равносторонний имеет наибольшую площадь. - Верно. При фиксированном периметре p площадь максимизируется для равнобедренного/равностороннего треугольника. Наиболее гладкий случай достигается при равенстве всех сторон (равносторонний треугольник). Формально: при фиксированном полупериметре s площадь равна площади по формуле Герона: S = sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]. При фиксированном s произведение (s-a)(s-b)(s-c) максимизируется, когда a=b=c, то есть треугольник равносторонний. Следовательно, равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь. 4) Диагонали прямоугольника перпендикулярны. - Неверно. Диагонали прямоугольника пересекаются и равны между собой, но обычно они не перпендикулярны. Это верно только для квадрата (и только в частном случае прямоугольника, когда он уже является квадратом). В общем случае для прямоугольника диагонали не перпендикулярны. 5) Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания. - Верно. Если две окружности касаются внешне или внутри, то радиусы к точке касания лежат на одной прямой. Следовательно, центр первой окружности, центр второй окружности и точка касания лежат на одной линии. Это и есть искомая линия центров. Итог: Верные утверждения: 2, 3, 5 Неверные утверждения: 1, 4