Выберите все верные утверждения: 1.Около любой трапеции можно описать окружность. 2.Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная…

Задача: выбрать все верные утверждения и привести обоснование.

Верные утверждения: 2, 3, 5 Неверные утверждения: 1, 4

Обоснование по пунктам:

1. Около любой трапеции можно описать окружность.

• Это неверно. Классическая теорема: четырехугольник выпуклый является вписанным в окружность (цикл) тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. У трапеции это выполняется не всегда; необходимо, чтобы трапеция была равнобочной (боковые стороны равны). Неравнобочная трапеция не обязательно cyclic. Приведем контрпример: возьмем трапецию с параллельными основаниями, где боковые стороны не равны. Можно проверить на конкретных координатах, что окружности через три вершины не проходят через четвертую. Следовательно, не каждая трапеция вписана в окружность.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку.

• Верно. Множество точек X такого, что XA = XB (где A и B — концы отрезка AB) образует перпендикуляр к отрезку AB, проходящий через середину AB — это перпендикулярная биссекторная прямая. Таким образом, геометрическое место равноудалённых точек — прямая, перпендикулярная отрезку.

3. Из всех треугольников данного периметра равносторонний имеет наибольшую площадь.

• Верно. При фиксированном периметре p площадь максимизируется для равнобедренного/равностороннего треугольника. Наиболее гладкий случай достигается при равенстве всех сторон (равносторонний треугольник). Формально: при фиксированном полупериметре s площадь равна площади по формуле Герона: S = sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]. При фиксированном s произведение (s-a)(s-b)(s-c) максимизируется, когда a=b=c, то есть треугольник равносторонний. Следовательно, равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь.

4. Диагонали прямоугольника перпендикулярны.

• Неверно. Диагонали прямоугольника пересекаются и равны между собой, но обычно они не перпендикулярны. Это верно только для квадрата (и только в частном случае прямоугольника, когда он уже является квадратом). В общем случае для прямоугольника диагонали не перпендикулярны.

5. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

• Верно. Если две окружности касаются внешне или внутри, то радиусы к точке касания лежат на одной прямой. Следовательно, центр первой окружности, центр второй окружности и точка касания лежат на одной линии. Это и есть искомая линия центров.

Итог: Верные утверждения: 2, 3, 5 Неверные утверждения: 1, 4