Постройте график функции у = x2 - 4x - 5

Разберём подробно задачу: построить график функции y = x^2 - 4x - 5.

1. Вершина параболы и ось симметрии

• Коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
• x-координата вершины: x_v = -b/(2a) = 4/2 = 2.
• Значение вершины: y_v = f(2) = 2^2 - 4·2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.
• Следовательно, вершина параболы: V(2, -9).
• Ось симметрии: x = 2.

2. Приведение к вершинной форме (для наглядности)

• y = x^2 - 4x - 5 можно записать как: y = (x^2 - 4x + 4) - 9 = (x - 2)^2 - 9.
• Это явно показывает вершину в (2, -9) и то, что график тяготеет вверх (a > 0).

3. Корни (пересечения с осью x)

• Решаем уравнение x^2 - 4x - 5 = 0.
• Дискриминант: Δ = (-4)^2 - 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36.
• x = (4 ± √36)/2 = (4 ± 6)/2 → x = -1 и x = 5.
• Отсюда X-пересечения: (-1, 0) и (5, 0).

4. Пересечение с осью y

• При x = 0: y = -5.
• Y-пересечение: (0, -5).

5. Выводы о графике

• График — парабола, открывается вверх (a > 0).
• Минимум достигается в вершине: y_min = -9 при x = 2.
• Область определения: все действительные числа. Область значений (диапазон): y ≥ -9.

6. Несколько контрольных точек (для построения на чертеже)

• При x = 1 и x = 3: y = 1 - 4 - 5 = -8 → точки (1, -8) и (3, -8) (согласуются с симметрией вокруг x = 2).
• При x = 0 и x = 4: y = -5 и y = -5 → точки (0, -5) и (4, -5) (также симметрично).
• При x = -1 и x = 5: точки на оси x: (-1, 0) и (5, 0).

7. Как нарисовать график

• Нарисуйте координатную сетку.
• Отметьте вершину V(2, -9) и проведите ось симметрии x = 2.
• По точкам пересечения с осями и по симметричным парам точек постройте паруболу U-образной формы.
• Проведите плавную кривую через отмеченные точки, выходящую вверх.

Итого:

• Вершина: (2, -9)
• Ось симметрии: x = 2
• Корни: x = -1 и x = 5
• Y-пересечение: (0, -5)
• График: парабола с минимумом -9 в точке (2, -9), открывается вверх, диаграмма с корнями на -1 и 5, диапазон y ≥ -9.