Y=12/x

Задача: y = 12/x Это типичная функция-обратная пропорциональность. Она задаёт гиперболу, т. е. две ветви в квадрантах I и III. Пошаговое детальное решение и объяснения 1) Тип и смысл функции - Функция вида y = a/x, где a = 12. Она получается из базовой y = 1/x при масштабировании по вертикали на коэффициент 12. - Значение y зависит от x обратно пропорционально: чем больше |x|, тем меньше |y|, и наоборот. 2) Область определения и область значений - Область определения: все x, кроме нуля, т. к. деление на 0 недопустимо. x ≠ 0. - Область значений: все y ≠ 0, потому что 12/x никогда не даёт нуль для любого конечного x. То есть y может быть любым положительным или отрицательным числом, кроме 0. 3) Симметрия и характер графика - График симметричен относительно начала координат (из-за свойства f(-x) = -f(x)). Это характерно для функций-обратных пропорциональностей. - График имеет две ветви: в квадранте I (x > 0, y > 0) и в квадранте III (x < 0, y < 0). 4) Асимптоты - Вертикальная асимптота: x = 0. При всё близких к нулю x значения y стремятся к бесконечности по соответствующей стороне. - Горизонтальная асимптота: y = 0. При больших по модулю |x| y стремится к 0. 5) Примеры точек на графике (для наглядности) - При x = 1: y = 12/1 = 12 → точка (1, 12) - При x = 2: y = 12/2 = 6 → точка (2, 6) - При x = 3: y = 12/3 = 4 → точка (3, 4) - При x = 4: y = 12/4 = 3 → точка (4, 3) - При x = -1: y = 12/(-1) = -12 → точка (-1, -12) - При x = -2: y = 12/(-2) = -6 → точка (-2, -6) - При x = -3: y = -4 → точка (-3, -4) Заметьте: точек можно взять сколько угодно, главное, чтобы x ≠ 0. 6) Как построить график (практически) - Шаг 1: отметить вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную асимптоту y = 0. - Шаг 2: выбрать несколько положительных x и вычислить соответствующие y (например, 1, 2, 3, 4, 6, 12). - Шаг 3: заполнить соответствующие точки в квадрантах I и III. - Шаг 4: плавно соединить точки двумя плавными ветвями, избегая осей и подходя к асимптотам. Получатся две ветви гиперболы: одна в квадранте I, другая в квадранте III. 7) Основные свойства, которые часто проверяют - Знак y соответствует знаку x: x > 0 → y > 0; x < 0 → y < 0. - Нет пересечений с осями Ox и Oy (поскольку y = 0 не достигается и x = 0 исключено). - График симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). 8) Интересные формулы и заметки - Инвариант по масштабу: если заменить x на x/k, то y изменится пропорционально, но в общем виде остаётся пропорциональность y = a/x. - Производная (для контекста анализа функций): dy/dx = -12/x^2. Это всегда отрицательно для x ≠ 0, значит функция убывает на каждой ветви. - Инверсия: Эта функция является собственным обратным преобразованием: если решить для x через y, получим x = 12/y, следовательно y = 12/x снова. 9) Короткие примеры вопросов, которые могли встретиться - Найдите y при x = 5: y = 12/5 = 2.4 → точка (5, 2.4) - Найдите значение y при x = -6: y = 12/(-6) = -2 → точка (-6, -2) - Опишите асимптоты: вертикальная x = 0; горизонтальная y = 0. - Есть ли у графика пересечение с осью Ox или Oy? Нет, пересечений нет. Итог - Функция y = 12/x задаёт две ветви гиперболы в квадрантах I и III, с вертикальной асимптотой при x = 0 и горизонтальной при y = 0. Поведение и свойства легко проверяются по формуле y = 12/x и примерам точек. Если хочешь, могу привести конкретные задания на график, вычисление точек или анализ эквивалентных преобразований (например, что будет с графиком при y = k/x, при k ≠ 12).