(x - 1)(x² + 8x + 16) = 6(x + 4)

Вот подробное решение с пояснениями.

Задача: (x - 1)(x² + 8x + 16) = 6(x + 4)

Шаг 1. Заметим полезную факторизацию

• x² + 8x + 16 = (x + 4)², потому что 16 = 4² и 8x = 2·x·4.
• Поэтому уравнение может быть переписано как (x - 1)(x + 4)² = 6(x + 4).

Шаг 2. Вынесем общий множитель (x + 4)

• Правую часть можно перенести в одну сторону: (x - 1)(x + 4)² - 6(x + 4) = 0.
• Заметим общий множитель (x + 4): (x + 4)[(x - 1)(x + 4) - 6] = 0.

Пояснение: мы умножили (x + 4) на разность [(x - 1)(x + 4) и 6], чтобы получить исходное выражение. Деление на нуль здесь не требуется и не выполнялось.

Шаг 3. Решим полученные факторы

• Первый фактор: x + 4 = 0 → x = -4.

• Второй фактор: (x - 1)(x + 4) - 6 = 0. • Раскроем скобки: (x - 1)(x + 4) = x² + 3x - 4. • Вычтем 6: x² + 3x - 4 - 6 = x² + 3x - 10. • Следовательно, x² + 3x - 10 = 0. • Найдём корни квадратного уравнения: дискриминант D = 3² - 4·1·(-10) = 9 + 40 = 49. • Корни: x = [-3 ± √49] / 2 = (-3 ± 7)/2. • Значения: x = ( -3 + 7 )/2 = 4/2 = 2; и x = ( -3 - 7 )/2 = -10/2 = -5.

Итого решения: x = -4, x = 2, x = -5.

Шаг 4. Проверка решений (опционально, но полезно) Подставим каждое значение в исходное уравнение:

• x = -4: левая часть (x - 1)(x² + 8x + 16) = (-5)·(16 - 32 + 16) = (-5)·0 = 0; правая часть 6(x + 4) = 6·0 = 0. works.

• x = 2: левая часть (2 - 1)(4 + 16 + 16) = 1·36 = 36; правая часть 6(2 + 4) = 6·6 = 36. works.

• x = -5: левая часть (-6)(25 - 40 + 16) = (-6)·1 = -6; правая часть 6(-5 + 4) = 6·(-1) = -6. works.

Ответ: x ∈ {-4, 2, -5}.

Дополнительно (альтернативный путь, чтобы увидеть тот же результат):

• Раскрыть скобки полностью: (x - 1)(x² + 8x + 16) = x^3 + 7x^2 + 8x - 16.
• Уравнять с правой частью: x^3 + 7x^2 + 8x - 16 = 6x + 24.
• Перенести все в одну сторону: x^3 + 7x^2 + 2x - 40 = 0.
• Проверить рациональный корень, например x = 2: 8 + 28 + 4 - 40 = 0, значит (x - 2) является множителем.
• Разложить: (x - 2)(x^2 + 9x + 20) = (x - 2)(x + 4)(x + 5) = 0.
• Корни: x = 2, x = -4, x = -5. Это совпадает с полученными выше.

Если нужно, могу привести ещё аналогичные примеры или разобрать похожие задачи на factoring-методы.