· К вопросу 3 (Теорема о разложении): Рисунок, на котором от точки O отложены три вектора: a̅, b̅ (неколлинеарные) и c̅. Через конец вектора c̅ проведены прямые, параллельные a̅ и b̅, до пересечения с прямыми, содержащими a̅ и b̅. Получившийся параллелограмм демонстрирует разложение c̅ = OM̄ + ON̄. · К вопросу 4 (Прямоугольная система координат): Классический рисунок с двумя перпендикулярными осями Ox и Oy, точкой O и стрелками, указывающими положительное направление. Векторы i̅ и j̅ отложены по осям. · К вопросу 9 (Радиус-вектор): Рисунок, на котором изображена точка M(x;y) на координатной плоскости. Показаны её проекции M_x и M_y на оси. Вектор OM̄ (радиус-вектор) и его составляющие x*i̅ и y*j̅. · К вопросу 11 (Координаты середины отрезка): Рисунок с отрезком AB и его серединой C. Показано, что OC̄ является средней линией в треугольнике, образованном радиус-векторами OĀ и OB̄. · К вопросу 13 (Расстояние между точками): Рисунок с точками A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B). Пунктиром показан прямоугольный треугольник ABC, где C(x_B; y_A), и гипотенуза AB. Подписаны катеты: (x_B - x_A) и (y_B - y_A). · К вопросу 16 (Уравнение окружности): Рисунок окружности с центром C(a;b) и радиусом R. Показана произвольная точка M(x;y) на окружности и отрезок CM

Ниже подробные решения по каждому вопросу, ориентированные на понимание сути задач и закономерностей векторов и координат. Вопрос 3. Теорема о разложении c = OM + ON - Что дано: из конца вектора c (точка C) проведены прямые параллельно a и параллельно b до пересечения со своими прямыми, содержащими a и b (то есть с OA и OB). Образуется параллелограмм O–M–C–N, где OM ∥ a и ON ∥ b; M лежит на OA, N лежит на OB. Радиус OC равен вектору c. - Цель: показать, что c = OM + ON (разложение по базису {a, b}). - Разбор: 1) Обозначим OA = a, OB = b, OC = c. По условию OM ∥ a и ON ∥ b, значит OM = α a и ON = β b для некоторых скаляров α и β. 2) В параллелограмме O–M–C–N диагональ OC является суммой боковых векторов: OC = OM + ON. Это свойство параллелограмма: диагональ равна сумме двух соседних сторон. 3) Следовательно, c = OC = OM + ON = α a + β b, т.е. c выражается как линейная комбинация базиса {a, b}. 4) Так как a и b не коллинеарны, разложение в таком виде существует и единственно. - Вывод: любая векторная сумма c, лежащая в плоскости, порожденной неколлинеарными a и b, можно разложить как c = OM + ON, где OM и ON параллельны a и b соответственно (то есть это представление c в базисе {a, b}). Вопрос 4. Прямоугольная система координат (векторная запись) - Что дано: две оси Ox и Oy, точка O — начало координат. Векторы i̅ и j̅ указаны вдоль осей Ox и Oy соответственно. - Цель: показать стандартное разложение радиус-вектора OM на составные части по осям. - Разбор: 1) Пусть точка M имеет координаты (x, y). 2) Радиус-вектор OM представляется как OM = x i̅ + y j̅. 3) Геометрически x — прямое “расположение” вдоль оси Ox (проекция OM на Ox), y — вдоль оси Oy (проекция OM на Oy). 4) Если нужно, проекции на оси можно увидеть как точки Mx = (x, 0) и My = (0, y) на осях. 5) Так же можно отметить, что i̅ и j̅ перпендикулярны и нормируются: i̅ · j̅ = 0, |i̅| = |j̅| = 1. - Вывод: любой вектор OM в прямоугольной системе координат записывается как сумма компонент x по i̅ и y по j̅: OM = x i̅ + y j̅. Вопрос 9. Радиус-вектор - Что дано: есть точка M с координатами (x; y) на координатной плоскости; показаны проекции Mx и My на оси; вектор OM и его составляющие x i̅ и y j̅. - Разбор: 1) Результат: радиус-вектор OM равен OM = x i̅ + y j̅. 2) Компоненты x i̅ и y j̅ сами по себе являются вкладом по оси Ox и Oy: x — абсцисса точки M, y — ордината. 3) Математически это то же самое разложение OM по базису {i̅, j̅} (как в вопросе 4). 4) Математически Mx и My наглядно соответствуют точкам проекций на оси: Mx = (x, 0) на оси Ox, My = (0, y) на оси Oy. - Вывод: OM = x i̅ + y j̅; координаты x и y — длины проекций на соответствующие оси. Вопрос 11. Координаты середины отрезка (OC является средней линией в треугольнике OAB) - Что дано: точки A и B с радиус-векторами OA = a и OB = b; C — середина отрезка AB (то есть C = (A + B)/2 векторно); OC — вектор, и говорят, что OC является средней линией (медианой) в треугольнике, образованном OA и OB. - Разбор: 1) Координата точки C: OC = (a + b)/2, потому что C — середина AB, а A и B имеют вектора a и b соответственно. 2) Следовательно OC = 1/2 a + 1/2 b. 3) Это означает, что OC есть средняя (медианная) векторная линия в треугольнике OAB, и она выражает середину AB как линейную комбинацию OA и OB с коэффициентами 1/2. - Вывод: средняя линия OC в треугольнике OAB задается OC = (a + b)/2; т.е. OC является медианой, и ее векторная величина равна половине суммы векторов OA и OB. Вопрос 13. Расстояние между точками A(x_A; y_A) и B(x_B; y_B) - Что дано: точки A и B с координатами; на рисунке построен прямоугольник ABC с C(x_B, y_A) так, что AB — гипотенуза. - Разбор: 1) Длины катетов прямоугольного треугольника ABC: AC = |x_B - x_A| и BC = |y_B - y_A|. 2) Гипотенуза AB по теореме Пифагора: AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2. 3) Следовательно, расстояние между A и B: AB = sqrt[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2]. 4) Примечание: разность координат можно взять без модуля в квадрате, так как возведение в квадрат лишает знак: (x_B - x_A)^2 и (y_B - y_A)^2 всегда неотрицательны. - Вывод: формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: AB = sqrt[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2]. Вопрос 16. Уравнение окружности (центр C(a; b), радиус R) - Что дано: центр окружности C с координатами (a; b) и радиус R; точка M(x; y) лежит на окружности. - Разбор: 1) Расстояние от центра до точки M должно быть равно радиусу: CM = R. 2) Выражаем CM через координаты: CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2. 3) Так как CM = R, имеем уравнение окружности: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2. 4) При желании можно преобразовать в стандартную общую форму: x^2 + y^2 - 2a x - 2b y + (a^2 + b^2 - R^2) = 0. - Вывод: уравнение окружности с центром в (a, b) и радиусом R задается как (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2. Если нужно, могу привести конкрет числовые примеры для каждого пункта или дать дополнительные пояснения к любому из пунктов.