Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины В, в отно- шении 6:5, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит…

Решение (пошагово):

Дано: AT — биссектриса угла A трапеции ABC, M — середина AC, BM — медиана из вершины B. Пусть P = AT ∩ BM и BP:PM = 6:5. Требуется найти отношение CT:TB, где T = AT ∩ BC (то есть как AT делит сторону BC считая от вершины C).

1. Введение координат

• Положим A = (0, 0), B = (0, b), C = (c, 0). Тогда M — середина AC, значит M = (c/2, 0).

2. Расположение точки T на BC (из теоремы биссектора)

• AT — биссектриса угла A, значит BT:TC = AB:AC = b:c.
• Точка T на BC делит отрезок BC в отношении m:n = BT:TC = b:c. Тогда координата T: T = ( (nB_x + mC_x)/(m+n), (nB_y + mC_y)/(m+n) ). Подстановка даёт T = ( bc/(b+c), bc/(b+c) ).

Заметим: T лежит на диагонали y = x, то есть AT имеет уравнение y = x.

3. Пересечение AT с BM

• Параметризуем BM: B + t(M − B) = (0, b) + t( c/2 − 0, 0 − b ) = ( (c/2)t, b(1 − t) ), t ∈ [0,1].
• На AT выполняется условие y = x, поэтому (c/2) t = b(1 − t) ⇒ t = 2b/(2b + c).
• Таким образом BP:PM = t:(1 − t) = [2b/(2b+c)] : [c/(2b+c)] = 2b : c.

4. По условию BP:PM = 6:5

• Соотношение 2b:c = 6:5 даёт 2b/c = 6/5 ⇒ 10b = 6c ⇒ 5b = 3c ⇒ c = (5/3)b.
• Следовательно AB:AC = b:c = b:(5/3)b = 3:5.

5. Отношение, в котором биссектриса делит BC

• По теореме биссектрисы BT:TC = AB:AC = 3:5.
• Значит CT:TB = TC:TB = 5:3.

Ответ: CT:TB = 5:3.