log²2 x + 3log2 x < -5.

Задача: log²2 x + 3log2 x < -5

Заметим: стандартная интерпретация log²2 x трактуется как (log₂ x)². Пусть t = log₂ x. Тогда домен log₂ x: x > 0, и несложно перейти к неравенству:

(t)² + 3t < -5 ⇒ t² + 3t + 5 < 0

Рассмотрим квадратное трёхчленное выражение: t² + 3t + 5. Его дискриминант D = 3² − 4·1·5 = 9 − 20 = −11 < 0. Поскольку коэффициент при t² положительный, квадратичное выражение всегда положительно для всех реальных t. Значит неравенству t² + 3t + 5 < 0 решения нет.

Следовательно, при стандартной интерпретации (log₂ x)² + 3 log₂ x < −5 реальных значений x не существует. Другими словами, решение множества пусто.

Дополнительная ремарка на случай иной интерпретации: Если под log²2 x имели в виду log₂(x²) (то есть сам лог возводят в квадрат внутри аргумента не сами логарифмы), то log₂(x²) = 2 log₂ x, и неравенство становится: 2 log₂ x + 3 log₂ x < −5 ⇒ 5 log₂ x < −5 ⇒ log₂ x < −1 ⇒ 0 < x < 1/2.

Но в обычной записи log²2 x означает именно (log₂ x)², и тогда решения нет.