"Решите уравнение logx-181=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них."

Класс, разберём по шагам.

1. Условие и домен

• Уравнение: log_(x-1) 81 = 2.
• Основание b = x-1 должно быть положительным и не равным 1: b > 0 и b ≠ 1. Это эквивалентно x > 1 и x ≠ 2.

2. Преобразование

• По определению логарифма: log_b a = c значит b^c = a.
• Здесь b = x-1, a = 81, c = 2. Значит (x-1)^2 = 81.

3. Решение квадратного уравнения

• Из (x-1)^2 = 81 получаем x-1 = 9 или x-1 = -9.
• Это даёт x = 10 или x = -8.

4. Применение домена

• Из условия домена: x > 1 и x ≠ 2.
• x = 10 подходит (основание 9, положительное и не равно 1).
• x = -8 не подходит (основание x-1 = -9, логарифм с отрицательным основанием не определён в действительных числах).

Итак, единственный корень: x = 10.

Где твоя ошибка?

• Ты взял обе ветви (x-1 = ±9) и получил -9 как один из корней. Но для логарифма основание должно быть положительным и не равным 1, поэтому x-1 > 0, то есть x > 1. Вторая ветвь даёт x = -8, которая нарушает домен, поэтому исключается. Правильный корень — только 10.

Ответ для задачи: 10.

Пожалуйста, поставь лайк или дизлайк, чтобы я знал, что объяснение полезно.