Точка K — середина стороны AD квадрата ABCD , а точка L на стороне AB такова, что BL = 3AL . Докажите, что CK — биссектриса угла DCL. Решить через подобие треугольников.

Дано: квадрат ABCD. K — середина AD, а на стороне AB лежит точка L такая, что BL = 3 AL. Нужно доказать, что CK — биссектриса угла DCL. Решение через подобие треугольников. 1) Упрощение параметров - Пусть сторона квадрата AB = AD = s. - Введём координаты: A(0,0), B(s,0), C(s,s), D(0,s). - Так как AL = AB/4 (поскольку BL = 3 AL и AB = AL + BL = 4 AL), получаем: L лежит на AB в точке L(s/4, 0). - K — середина AD, значит K(0, s/2). 2) Виды углов и прямые Рассмотрим треугольники CDK и LCK. - ∠CDK — угол при D между CD и DK. Вектора: DC = (s,0) и DK = (0, -s/2). Их скалярное произведение равно s·0 + 0·(-s/2) = 0, значит ∠CDK = 90°. - ∠LKC — угол при K между KL и KC. Вектора: KL = (s/4, -s/2) и KC = (s, s/2). Их скалярное произведение равно (s/4)s + (-s/2)(s/2) = s^2/4 - s^2/4 = 0, значит ∠LKC = 90°. Итак, оба треугольника CDK и LCK — прямые треугольники (оба по 90° в двух углах). 3) Ещё одно равенство угла Докажем, что ∠CKD = ∠CLK. - Вектор KC = (s, s/2); KD = (0, s/2). Косинус угла между KC и KD: cos ∠CKD = (KC · KD) / (|KC| |KD|) = (0 + (s/2)(s/2)) / (√(s^2 + s^2/4) · (s/2)) = (s^2/4) / ((s√5/2) · (s/2)) = 1/√5. - Вектор CL = (3s/4, s); LK = (-s/4, s/2). Косинус угла ∠CLK между CL и LK: cos ∠CLK = (CL · LK) / (|CL| |LK|) = ((3s/4)(-s/4) + s·(s/2)) / (√((3s/4)^2 + s^2) · √((-s/4)^2 + (s/2)^2)) = (-3s^2/16 + s^2/2) / ((5s/4) · (s√5/4)) = (5s^2/16) / (5s^2√5/16) = 1/√5. Следовательно, ∠CKD = ∠CLK. 4) Вывод по подобию Треугольники CDK и LCK имеют два равных угла: ∠CDK = ∠LKC = 90° и ∠CKD = ∠CLK. По признаку равенства двух углов (AA) они подобны. Следовательно, их соответствующие углы равны, в частности ∠DCK = ∠KCL. Это и есть условие того, что CK — биссектриса угла DCL. Итог: CK действительно является биссектором угла DCL.