Сложите из трёх одинаковых клетчатых фигур без оси симметрии фигуру с осью симметрии. (Фигуры можно поворачивать и переворачивать.)

Задача оказывается неразрешимой.

Объяснение по шагам:

• Пусть есть три одинаковые клетчатые фигуры A, B, C, каждая из которых по форме не имеет оси симметрии (поворот/переворот допустим).
• Пусть фигуры расположены так, чтобы вся указанная общая фигура имела ось симметрии L. Тогда отображение по отражению через L (обозначим как f) должно перевести множество клеток в эту же множество.
• Каждая копия фигуры под действием f либо переходит в копию другой фигуры, либо сама переходит сама в себя (если эта копия явно фиксировалась бы буквой оси). Вариант “переходит сама в себя” означал бы, что сама фигура имеет ось симметрии относительно L.
• Однако условия задачи говорят, что каждая фигура по форме не имеет оси симметрии. Значит ни одна копия не может быть фиксированной под отражением относительно L. Следовательно все копии образуют пары под действием f: A↔X, B↔Y, и т.д.
• Но у нас три копии. Нельзя разложить три элемента на пары (размеры орбит под отражением должны быть 1 или 2; без фиксирующих элементов нельзя покрыть три). Противоречие.

Вывод: невозможно сложить из трех одинаковых клетчатых фигур без оси симметрии фигуру с осью симметрии (при условии, что фигуры можно поворачивать и переворачивать).

Примечание по обобщению:

• Если бы было 4 или больше одинаковых таких фигур, то задача могла бы быть решена: их можно разместить парами по обе стороны от предполагаемой оси симметрии, чтобы каждая пара зеркально повторяла другая.
• Для любого нечётного числа одинаковых асимметричных фигур получить фигуру с осью симметрии невозможно.