У Киры есть шесть одинаковых красных бусин и по одной синей, зелёной и жёлтой. Сколькими способами она может собрать из этих бусин браслет без застёжки?

Задача: у Киры есть 6 красных бусин (одинаковых) и по одной синей, зелёной и жёлтой. Нужно узнать, сколькими способами можно собрать браслет без застёжки (то есть вокруг круга, учитывая вращения и отражения как одинаковые).

Пояснение и решение (пошагово):

• Что считать за разные браслеты

  • Мы считаем два расположения одинаковыми, если можно получить одно из другого поворотом или отражением (браслет без застёжки можно перевернуть).

• Подход

  • Применим принцип Бернсайда (Burnside): число разных браслетов равно среднему числу фиксированных раскладок под симметриями группы, то есть по сумме фиксированных раскладок для всех поворотов и отражений, делённой на размер группы.
  • Группа симметрии окружности из 9 бусин имеет размер 18: 9 поворотов и 9 отражений.

• Фиксированные раскладки под идентичностью

  • При тождественном отображении все раскладки считаются фиксированными.
  • Общее число раскладок с данным набором цветов: 9 позиций и мультисет (6 красных, 1 синяя, 1 зелёная, 1 жёлтая).
  • Так как красных бусин 6, а остальные цвета по одной, число различных расположений вокруг круга равно 9! / 6! = 9×8×7 = 504.

• Фиксированные раскладки под неполными вращениями

  • Любое вращение, отличное от тождественного, имеет циклов больше одного. Чтобы раскладка была фиксирована при таком вращении, все бусины в каждом цикле должны иметь одинаковый цвет.
  • Но у нас есть три цвета, встречающиеся по одной штуке (синий, зелёный, жёлтый). Их нельзя разместить в цикле длиной больше 1. Значит ни одно нероднично-вращательное симметрическое отображение (ротация на k ≠ 0) не может зафиксировать такую раскладку.
  • Следовательно, число фиксированных раскладок под любой неполным поворотом равно 0.

• Фиксированные раскладки под отражениями

  • При нечётном числе бусин (n = 9) каждая отражающая симметрия имеет одну фиксированную позицию и 4 пары взаимно отражённых позиций.
  • В каждой паре цвета должны совпадать. Это значит, парам можно присвоить только цвета, которые есть как минимум по две штуки.
  • У нас же синяя, зелёная и жёлтая встречаются по одному разу каждая, т.е. их нельзя разместить в паре. Единственная фиксированная позиция может принять только один из цветов, но тогда оставить три разные одноцветных бусинки для остальных позиций невозможно.
  • Поэтому ни одна фиксированная раскладка под отражениями также не существует. Количество фиксированных раскладок под всех 9 отражений равно 0.

• Итог по Бернсайду

  • Сумма фиксированных раскладок по всей группе: 504 (идентичность) + 0 (прочие повороты) + 0 (отражения) = 504.
  • Число различных браслетов: 504 / 18 = 28.

Ответ: 28 способов.