Найдите первообразную функции f(x) = 4x3 - 4x + 5, график которой проходит через точку А (1; 6).

Задача: Найти первообразную функции f(x) = 4x^3 - 4x + 5, график которой проходит через точку A(1; 6).

Шаг 1. Найдём общую форму первообразной Функция, чья производная равна f(x), имеет вид F(x) = ∫ f(x) dx. Интегрируем по членам: ∫ 4x^3 dx = x^4, ∫ (-4x) dx = -2x^2, ∫ 5 dx = 5x.

Получаем общую первообразную: F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + C, где C — произвольная константа.

Шаг 2. Определим константу C из условия, что график проходит через A(1, 6) Нужно, чтобы F(1) = 6: F(1) = 1^4 - 2·1^2 + 5·1 + C = 1 - 2 + 5 + C = 4 + C. Уравнение: 4 + C = 6 => C = 2.

Шаг 3. Запишем окончательный ответ Первая интегралная функция (первообразная) с учётом условия: F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 2.

Проверка: F'(x) = 4x^3 - 4x + 5, что совпадает с f(x). А F(1) = 1 - 2 + 5 + 2 = 6, что удовлетворяет условию.