Исследовать функцию и построить ее график y=x²+9x+20

Задача: исследовать функцию y = x^2 + 9x + 20 и построить её график. Пошаговое решение с объяснениями 1) Определение основных параметров функции - Это квадратная функция (парабола) вида y = ax^2 + bx + c, где a = 1, b = 9, c = 20. - Парабола открывается вверх (так как a > 0). 2) Корни функции (пересечения с осью x) - Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4·1·20 = 81 - 80 = 1. - Корни: x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-9 ± 1) / 2. - x1 = (-9 - 1)/2 = -10/2 = -5 - x2 = (-9 + 1)/2 = -8/2 = -4 - Следовательно, график пересекает ось x в точках (-5, 0) и (-4, 0). - Факторизация: y = (x + 5)(x + 4). 3) Канонический вид и вершина - После факторизации можно перейти к каноническому виду через completing the square или directly через вершину. - Completing the square: y = x^2 + 9x + 20 = (x + 9/2)^2 - (9/2)^2 + 20 = (x + 4.5)^2 - 20.25 + 20 = (x + 4.5)^2 - 0.25. - Вершина параболы: x-координата x_v = -b/(2a) = -9/2 = -4.5. Значение функции в вершине: y_v = f(-4.5) = -0.25. Следовательно, вершина графика: (-4.5, -0.25). - Ось симметрии: x = -4.5. 4) Значение на оси ординат и дополнительные точки - Пересечение с осью y: подставим x = 0: y = 0^2 + 9·0 + 20 = 20. Точка (0, 20). - Если подставить близкие к вершине значения: - f(-6) = 36 - 54 + 20 = 2 - f(-5) = 25 - 45 + 20 = 0 (корень) - f(-4) = 16 - 36 + 20 = 0 (корень) - f(-3) = 9 - 27 + 20 = 2 - Это демонстрирует симметрию около x = -4.5 и характер параболы, проходящей через (-5,0) и (-4,0). 5) Характеристика графика - График представляет собой параболу, открывается вверх, минимальное значение y_min = -0.25 достигается в вершине x = -4.5. - Характерные точки: вершина (-4.5, -0.25), x-пересечения (-5, 0) и (-4, 0), y-пересечение (0, 20). - Дополнительные ориентировочные точки для построения графика: - (-7, 6), (-6, 2), (-3, 2), (-2, 6), (-1, 12), (0, 20). 6) Как построить график на практике - Нарисуйте оси координат. - Отметьте точки пересечения с осью x: (-5, 0) и (-4, 0). - Найдите вершину: (-4.5, -0.25) и отметьте её на графике. - Отметьте ось симметрии x = -4.5. - Отметьте точку пересечения с осью y: (0, 20). - Соедините точки плавной дугой сверху (парабола открывается вверх). - Помните о симметрии: любые значения на левой стороне относительно x = -4.5 должны иметь зеркальные значения на правой стороне. Итого - y = x^2 + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4). - Корни: x = -5 и x = -4. - Вершина: (-4.5, -0.25). axis of symmetry: x = -4.5. - y-пересечение: (0, 20). - График — парабола, открытая вверх, проходит через указанные точки, минимальное значение −0.25 в вершине.