Исследовать функцию и построить ее график y=x²+9x+20

Конечно, я могу помочь оформить это как в тетради, описав все шаги более аккуратно.

Исследование функции и построение графика функции \( y = x^2 + 9x + 20 \)

1. Определение типа функции

Функция имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 1 \)
• \( b = 9 \)
• \( c = 20 \)

Парабола открывается вверх, так как \( a > 0 \).

2. Найти корни функции

Для нахождения корней используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1. \] Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 1}{2 \cdot 1}. \] Таким образом, получаем:

• \( x_1 = \frac{-10}{2} = -5 \)
• \( x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \)

Корни функции: \( x = -5 \) и \( x = -4 \).

3. Вершина параболы

Координаты вершины параболы находятся по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{2 \cdot 1} = -4.5. \] Теперь вычислим значение функции в этой точке: \[ y_v = f(-4.5) = (-4.5)^2 + 9 \cdot (-4.5) + 20. \] Вычисляем: \[ (-4.5)^2 = 20.25, \quad 9 \cdot (-4.5) = -40.5. \] Следовательно: \[ y_v = 20.25 - 40.5 + 20 = -0.25. \] Вершина: \( (-4.5, -0.25) \).

4. Пересечение с осями

• Пересечение с осью x:
  • \( (-5, 0) \) и \( (-4, 0) \).
• Пересечение с осью y:
  • \( y(0) = 0^2 + 9 \cdot 0 + 20 = 20 \) → точка \( (0, 20) \).

5. Построение графика

Выберите дополнительные точки:

• \( f(-6) = 2 \) → точка \( (-6, 2) \)
• \( f(-3) = 2 \) → точка \( (-3, 2) \)
• \( f(-2) = 6 \) → точка \( (-2, 6) \)
• \( f(-1) = 12 \) → точка \( (-1, 12) \)

6. Сводные результаты

• Корни: \( x = -5 \), \( x = -4 \).
• Вершина: \( (-4.5, -0.25) \).
• Ось симметрии: \( x = -4.5 \).
• Пересечения:
  • С осью x: \((-5, 0)\), \((-4, 0)\)
  • С осью y: \( (0, 20) \).

График функции

Теперь нарисуем график.

          y
   25 +-------------------+      
      |                   |
   20 |                   |  (0,20)
      |                   |
   15 +                   +
      |                   |
   10 +                   +
      |                   |
    5 +                   +
      |                   |                *
    0 +-------*--------*-------------------+-----------> x
      -6      -5      -4       -3        -2  
   -5 +   *               V
      |      *       
   -10 +--- +----------*         
      |        V            
   -15 +                  
      |                          
   -20 +-------------------+
   -25 +-------------------+
       -6     -5    -4.5 -4    -3    -2     

Конечный результат

Таким образом, мы исследовали функцию \( y = x^2 + 9x + 20 \) и построили график. Если вам нужно, отправьте этот текст и график в виде изображения, и указанием, какой именно стиль графика вас интересует.

Конечно! Давайте я более наглядно представлю график функции \( y = x^2 + 9x + 20 \).

График функции

1. Корни функции: \( (-5, 0) \) и \( (-4, 0) \)
2. Вершина параболы: \( (-4.5, -0.25) \)
3. Пересечение с осью y: \( (0, 20) \)

Теперь построим график с учетом этих параметров.

  25 |                                     *
  20 |                                   *   
  15 |                                 *     
  10 |                               *       
   5 |                             *         
   0 |           *               *           *   
  -5 |         *               *              
 -10 |      *                 *                
 -15 |   *                   *                 
 -20 | *                                    
    -6   -5   -4   -3   -2   -1    0    1  

Описание графика:

• График представляет собой параболу, которая открывается вверх.
• Пересечения с осью x находятся в точках \( (-5, 0) \) и \( (-4, 0) \).
• Вершина параболы расположена в точке \( (-4.5, -0.25) \), что является минимальным значением функции.
• Пересечение с осью y происходит в точке \( (0, 20) \).

Если вам нужно объяснить, как построить график на бумаге, или если вы хотите дополнительные точки для более точного графика, дайте знать!